Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
- eixo de simetria;
- coordenadas do vértice;
- intersecção com o eixo
e
- intersecções com o eixo
, se houverem.
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de funções quadráticas! A gente precisa esboçar o gráfico da função
e achar algumas características importantes dela: o eixo de simetria, as coordenadas do vértice, onde ela corta o eixo
e onde ela corta o eixo
(se tiver). Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra, como fórmula do vértice e resolução de equações quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o eixo de simetria. Em uma função quadrática da forma
, o eixo de simetria está na reta
. Aqui,
e
.
Passo 3
Calculando o eixo de simetria:
Então, o eixo de simetria é a reta
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice. O vértice está no ponto
. Vamos calcular
:
Então, as coordenadas do vértice são
.
Passo 5
Vamos encontrar a intersecção com o eixo
. Isso acontece quando
:
Portanto, a função corta o eixo
no ponto
.
Passo 6
Para achar as intersecções com o eixo
, precisamos resolver a equação
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Como
é negativo (
), não temos intersecções reais com o eixo
. Isso significa que o gráfico da função não corta o eixo
.
Passo 7
Agora, vamos colocar a função na forma canônica, que é
, onde
são as coordenadas do vértice. Já sabemos que
e
.
Substituindo, temos:
Resposta
O gráfico da função
possui:
- Eixo de simetria:
- Vértice:
- Intersecção com o eixo
: - Intersecções com o eixo
: Não há intersecções reais.
A forma canônica da função é: