Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
  • eixo de simetria;
  • coordenadas do vértice;
  • intersecção com o eixo y e
  • intersecções com o eixo x, se houverem.
    f) f(x) = 3 x^2 - 4 x + 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de funções quadráticas! A gente precisa esboçar o gráfico da função e achar algumas características importantes dela: o eixo de simetria, as coordenadas do vértice, onde ela corta o eixo e onde ela corta o eixo (se tiver). Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra, como fórmula do vértice e resolução de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o eixo de simetria. Em uma função quadrática da forma , o eixo de simetria está na reta . Aqui, e .

Passo 3

Calculando o eixo de simetria:
Então, o eixo de simetria é a reta .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice. O vértice está no ponto . Vamos calcular :
Então, as coordenadas do vértice são .

Passo 5

Vamos encontrar a intersecção com o eixo . Isso acontece quando :
Portanto, a função corta o eixo no ponto .

Passo 6

Para achar as intersecções com o eixo , precisamos resolver a equação . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Como é negativo ( ), não temos intersecções reais com o eixo . Isso significa que o gráfico da função não corta o eixo .

Passo 7

Agora, vamos colocar a função na forma canônica, que é , onde são as coordenadas do vértice. Já sabemos que e .
Substituindo, temos:

Resposta

O gráfico da função possui:
  • Eixo de simetria:
  • Vértice:
  • Intersecção com o eixo :
  • Intersecções com o eixo : Não há intersecções reais.
A forma canônica da função é:

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