Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
  • eixo de simetria;
  • coordenadas do vértice;
  • intersecção com o eixo e
  • intersecções com o eixo , se houverem.
    f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de funções quadráticas! A gente precisa esboçar o gráfico da função e achar algumas características importantes dela: o eixo de simetria, as coordenadas do vértice, onde ela corta o eixo e onde ela corta o eixo (se tiver). Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra, como fórmula do vértice e resolução de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o eixo de simetria. Em uma função quadrática da forma , o eixo de simetria está na reta . Aqui, e .

Passo 3

Calculando o eixo de simetria:
Então, o eixo de simetria é a reta .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice. O vértice está no ponto . Vamos calcular :
Então, as coordenadas do vértice são .

Passo 5

Vamos encontrar a intersecção com o eixo . Isso acontece quando :
Portanto, a função corta o eixo no ponto .

Passo 6

Para achar as intersecções com o eixo , precisamos resolver a equação . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Como é negativo ( ), não temos intersecções reais com o eixo . Isso significa que o gráfico da função não corta o eixo .

Passo 7

Agora, vamos colocar a função na forma canônica, que é , onde são as coordenadas do vértice. Já sabemos que e .
Substituindo, temos:

Resposta

O gráfico da função possui:
  • Eixo de simetria:
  • Vértice:
  • Intersecção com o eixo :
  • Intersecções com o eixo : Não há intersecções reais.
A forma canônica da função é:

Exercícios relacionados

Determine as curvas de nível para as funções dadas. Represente no plano cartesiano.
(f)
Determine as curvas de nível para as funções dadas. Represente no plano cartesiano.
Determine se as funções dadas são contínuas em seus respectivos domínios. Justifique suas respostas.