Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos y z e x z e faça um esboço do gráfico:
f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2)

Passo 1

Neste exercício, vamos analisar a função . Nosso objetivo é determinar as curvas de nível dessa função, encontrar onde o gráfico dela intercepta os planos e , e finalmente fazer um esboço desse gráfico. Para isso, vamos precisar entender conceitos como curvas de nível e interseções de gráficos com planos específicos.

Passo 2

Curvas de Nível: As curvas de nível são linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Ou seja, para um valor fixo , queremos encontrar todos os pontos que satisfazem .
Vamos resolver para :
Essa equação representa círculos com centro na origem e raio . Portanto, as curvas de nível da função são círculos concêntricos centrados na origem, onde o raio diminui à medida que aumenta.

Passo 3

Interseção com o Plano : Para encontrar onde o gráfico de intersecta o plano , devemos fixar .
Substituindo na função:
Isso nos dá a curva no plano .
Interseção com o Plano : Similarmente, para encontrar a interseção com o plano , fixamos .
Substituindo na função:
Isso resulta na curva no plano .

Passo 4

Esboço do Gráfico: Com as curvas de nível sendo círculos concêntricos e as interseções sendo parábolas no plano e , podemos imaginar que o gráfico de forma uma superfície que se aproxima do eixo conforme e aumentam. Essa superfície se assemelha a um hiperboloide de uma folha, que nunca toca a origem porque tende ao infinito quando e se aproximam de zero.
Para esboçar:
  • Desenhe círculos concêntricos no plano .
  • Trace as parábolas e nos respectivos planos.
  • Conecte essas curvas para formar uma superfície suave que se afasta do centro à medida que e aumentam.

Resposta

As curvas de nível de são círculos concêntricos no plano com raio . As interseções do gráfico com os planos e são as parábolas e , respectivamente. O esboço do gráfico corresponde a uma superfície hiperboloide de uma folha centrada na origem.

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