Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos
e
e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
Neste exercício, vamos analisar a função
. Nosso objetivo é determinar as curvas de nível dessa função, encontrar onde o gráfico dela intercepta os planos
e
, e finalmente fazer um esboço desse gráfico. Para isso, vamos precisar entender conceitos como curvas de nível e interseções de gráficos com planos específicos.
Passo 2
Curvas de Nível: As curvas de nível são linhas no plano
onde a função
mantém um valor constante. Ou seja, para um valor fixo
, queremos encontrar todos os pontos
que satisfazem
.
Vamos resolver para
:
Essa equação representa círculos com centro na origem e raio
. Portanto, as curvas de nível da função
são círculos concêntricos centrados na origem, onde o raio diminui à medida que
aumenta.
Passo 3
Interseção com o Plano
: Para encontrar onde o gráfico de
intersecta o plano
, devemos fixar
.
Substituindo
na função:
Isso nos dá a curva
no plano
.
Interseção com o Plano
: Similarmente, para encontrar a interseção com o plano
, fixamos
.
Substituindo
na função:
Isso resulta na curva
no plano
.
Passo 4
Esboço do Gráfico: Com as curvas de nível sendo círculos concêntricos e as interseções sendo parábolas no plano
e
, podemos imaginar que o gráfico de
forma uma superfície que se aproxima do eixo
conforme
e
aumentam. Essa superfície se assemelha a um hiperboloide de uma folha, que nunca toca a origem porque
tende ao infinito quando
e
se aproximam de zero.
Para esboçar:
- Desenhe círculos concêntricos no plano
. - Trace as parábolas
e nos respectivos planos. - Conecte essas curvas para formar uma superfície suave que se afasta do centro à medida que
e aumentam.
Resposta
As curvas de nível de
são círculos concêntricos no plano
com raio
. As interseções do gráfico com os planos
e
são as parábolas
e
, respectivamente. O esboço do gráfico corresponde a uma superfície hiperboloide de uma folha centrada na origem.
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