Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^3x^3+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para ver o que acontece com a função quando se aproxima de . Aqui estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, então precisamos estudar como a função se comporta em diferentes direções que chegam ao ponto . Para isso, vamos precisar usar técnicas de análise de limites em múltiplas variáveis, como tentar diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão da função para entender melhor o comportamento dela. A função é . Para investigar o limite, podemos ver o que acontece se nos aproximarmos de ao longo de diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos tentar o caminho onde x^3x^3+0^2 = x^3x^3 = 1 . Substituindo por 0 na função, temos:
Então, ao longo do caminho , o limite da função é 1.

Passo 4

Agora, vamos tentar outro caminho, por exemplo, 0^30^3+y^2 = 0y^2 = 0 . Substituindo por 0 na função, temos:
Então, ao longo do caminho , o limite da função é 0.

Passo 5

Percebemos que ao seguir caminhos diferentes chegando a , obtemos limites diferentes: 1 e 0. Isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Passo 6

Como o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de , podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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