Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que pede para ver o que acontece com a função
quando
se aproxima de
. Aqui estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, então precisamos estudar como a função se comporta em diferentes direções que chegam ao ponto
. Para isso, vamos precisar usar técnicas de análise de limites em múltiplas variáveis, como tentar diferentes caminhos de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão da função para entender melhor o comportamento dela. A função é
. Para investigar o limite, podemos ver o que acontece se nos aproximarmos de
ao longo de diferentes caminhos.
Passo 3
Vamos tentar o caminho onde
. Substituindo
por 0 na função, temos:
Então, ao longo do caminho
, o limite da função é 1.
Passo 4
Agora, vamos tentar outro caminho, por exemplo,
. Substituindo
por 0 na função, temos:
Então, ao longo do caminho
, o limite da função é 0.
Passo 5
Percebemos que ao seguir caminhos diferentes chegando a
, obtemos limites diferentes: 1 e 0. Isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções.
Passo 6
Como o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de
, podemos concluir que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.
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e
e faça um esboço do gráfico:
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