Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (1,0) (x-1)^2 y(x-1)^4+y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite:
lim(x, y) (1, 0) (x-1)^2 y(x-1)^4 + y^2
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar como a função se comporta quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo uma das variáveis para ver como o limite se comporta. Vamos definir u^2 yu^4 + y^2 , de forma que quando . A expressão fica:
Agora, precisamos ver o que acontece quando .

Passo 3

Vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos para verificar se ele depende da direção pela qual nos aproximamos de . Se obtivermos resultados diferentes por caminhos distintos, isso significa que o limite não existe.

Passo 4

Primeiro, considere o caminho onde u^2 cdot 0u^4 + 0^2 = 0 . Substituindo na expressão:
Então, ao longo desse caminho, o limite é .

Passo 5

Agora, vamos considerar o caminho onde u^2 cdot u^2u^4 + (u^2)^2 = u^4u^4 + u^4 = u^42u^4 = 12 . Substituindo na expressão:
Então, ao longo desse caminho, o limite é .

Passo 6

Como obtivemos limites diferentes ( e ) ao seguir caminhos diferentes para , isso indica que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos y z e x z e faça um esboço do gráfico:
f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^3 y^3x^4+y^4
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^3x^3+y^2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^2+|y|+(x+y-1)^2