Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar como a função se comporta quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo uma das variáveis para ver como o limite se comporta. Vamos definir
, de forma que
quando
. A expressão fica:
Agora, precisamos ver o que acontece quando
.
Passo 3
Vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos para verificar se ele depende da direção pela qual nos aproximamos de
. Se obtivermos resultados diferentes por caminhos distintos, isso significa que o limite não existe.
Passo 4
Primeiro, considere o caminho onde
. Substituindo na expressão:
Então, ao longo desse caminho, o limite é
.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo na expressão:
Então, ao longo desse caminho, o limite é
.
Passo 6
Como obtivemos limites diferentes (
e
) ao seguir caminhos diferentes para
, isso indica que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe.
Exercícios relacionados
Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos
e
e faça um esboço do gráfico:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: