Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Beleza, temos que resolver o limite
. Esse tipo de problema é da Área de Cálculo, mais especificamente de limites multivariáveis. Vamos precisar analisar como a função se comporta quando
e
se aproximam de zero, testando diferentes caminhos para ver se o limite existe.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Olha só, o numerador é
e o denominador é
. A ideia aqui é ver se, ao aproximarmos
e
de zero, o quociente tende a um valor específico.
Passo 3
Vamos começar testando o caminho onde
. Substituindo
por
na expressão:
Então, pelo caminho
, o limite dá 0.
Passo 4
Agora, vamos tentar outro caminho, digamos
, onde
é uma constante. Substituindo na expressão:
Independente do valor de
, o limite continua sendo 0.
Passo 5
Para ter certeza de que o limite é realmente 0, vamos usar coordenadas polares. Nessa mudança, colocamos
e
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Substituindo na expressão:
Quando
tende a 0, o numerador
vai para 0, e o denominador permanece finito (pois
nunca é zero). Portanto, todo o quociente tende a 0.
Resposta
O limite
existe e é igual a
.
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e
e faça um esboço do gráfico:
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