Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^3 y^3x^4+y^4

Passo 1

Beleza, temos que resolver o limite . Esse tipo de problema é da Área de Cálculo, mais especificamente de limites multivariáveis. Vamos precisar analisar como a função se comporta quando e se aproximam de zero, testando diferentes caminhos para ver se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Olha só, o numerador é e o denominador é . A ideia aqui é ver se, ao aproximarmos e de zero, o quociente tende a um valor específico.

Passo 3

Vamos começar testando o caminho onde limx to 0 x^3 cdot x^3x^4 + x^4 = limx to 0 x^62x^4 = limx to 0 x^22 = 0 . Substituindo por na expressão:
Então, pelo caminho , o limite dá 0.

Passo 4

Agora, vamos tentar outro caminho, digamos limx to 0 x^3 (kx)^3x^4 + (kx)^4 = limx to 0 k^3 x^6x^4 + k^4 x^4 = limx to 0 k^3 x^6x^4 (1 + k^4) = limx to 0 k^3 x^21 + k^4 = 0 , onde é uma constante. Substituindo na expressão:
Independente do valor de , o limite continua sendo 0.

Passo 5

Para ter certeza de que o limite é realmente 0, vamos usar coordenadas polares. Nessa mudança, colocamos (r cos(theta))^3 (r sin(theta))^3(r cos(theta))^4 + (r sin(theta))^4 = r^6 cos^3(theta) sin^3(theta)r^4 (cos^4(theta) + sin^4(theta)) = r^2 cos^3(theta) sin^3(theta)cos^4(theta) + sin^4(theta) e , onde é a distância até a origem e é o ângulo.
Substituindo na expressão:
Quando tende a 0, o numerador vai para 0, e o denominador permanece finito (pois nunca é zero). Portanto, todo o quociente tende a 0.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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