Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,1) x+y-1raizx-raiz1-y

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que determinar o limite da função
lim (x, y) (0,1) x + y - 1raizx - raiz1 - y
ao aproximar-se do ponto . Isso envolve cálculo de limites em funções de duas variáveis, onde analisamos o comportamento da função conforme e se aproximam simultaneamente de certos valores. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com radicais e analisar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, observamos que, ao substituir diretamente 0 + 1 - 1raiz0 - raiz1 - 1 = 00 e , tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero:
Essa forma é indeterminada, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite ou determinar se ele não existe.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente para facilitar a análise. Observe que:
x + y - 1 = x + (y - 1)
E no denominador:
raizx - raiz1 - y
Perceba que está se aproximando de 1, então está se aproximando de 0. Podemos reescrever em termos de para facilitar a manipulação.

Passo 4

Para simplificar a expressão, vamos fazer uma substituição que centralize o comportamento perto do ponto h = x e k = 1 - y . Definimos:
h + (1 - k) - 1raizh - raizk = h - kraizh - raizk
Assim, à medida que , temos e . Substituindo na função original:

Passo 5

Agora, temos a expressão simplificada:
h - kraizh - raizk
Para resolver isso, vamos fatorar o numerador e racionalizar o denominador. Primeiro, observe que:
h - k = (raizh)^2 - (raizk)^2 = (raizh - raizk)(raizh + raizk)
Substituindo na fração:
(raizh - raizk)(raizh + raizk)raizh - raizk = raizh + raizk

Passo 6

Agora, a expressão se simplificou para:
raizh + raizk
Lembrando que raizh 0 e raizk 0 e raizh + raizk 0 + 0 = 0 , então:
Portanto:

Resposta

O limite é igual a 0.
lim (x, y) (0,1) x + y - 1raizx - raiz1 - y = 0

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
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