Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que determinar o limite da função
ao aproximar-se do ponto
. Isso envolve cálculo de limites em funções de duas variáveis, onde analisamos o comportamento da função conforme
e
se aproximam simultaneamente de certos valores. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com radicais e analisar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, observamos que, ao substituir diretamente
e
, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero:
Essa forma
é indeterminada, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite ou determinar se ele não existe.
Passo 3
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente para facilitar a análise. Observe que:
E no denominador:
Perceba que
está se aproximando de 1, então
está se aproximando de 0. Podemos reescrever
em termos de
para facilitar a manipulação.
Passo 4
Para simplificar a expressão, vamos fazer uma substituição que centralize o comportamento perto do ponto
. Definimos:
Assim, à medida que
, temos
e
. Substituindo na função original:
Passo 5
Agora, temos a expressão simplificada:
Para resolver isso, vamos fatorar o numerador e racionalizar o denominador. Primeiro, observe que:
Substituindo na fração:
Passo 6
Agora, a expressão se simplificou para:
Lembrando que
e
, então:
Portanto:
Resposta
O limite é igual a 0.
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e
e faça um esboço do gráfico: