Determine o vetor gradiente da funçāo em P e a derivada direcional em P na direção do vetor v.
f(x, y) = x^2 * y - x * y^3, P = (2, 1) e v = 3i + 4j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor gradiente da função no ponto e a derivada direcional nessa direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente de cálculo de derivadas parciais e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor gradiente de uma função é um vetor que tem como componentes as derivadas parciais da função em relação a e a .
Então, a gente precisa calcular e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, o vetor gradiente é:
Vamos agora calcular esse vetor no ponto :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada direcional de em na direção do vetor . Para isso, precisamos normalizar o vetor para obter um vetor unitário .
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 7

A derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor unitário :

Resposta

O vetor gradiente da função em é e a derivada direcional nessa direção é .

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