Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor gradiente da função
no ponto
e a derivada direcional nessa direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente de cálculo de derivadas parciais e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor gradiente de uma função
é um vetor que tem como componentes as derivadas parciais da função em relação a
e a
.
Então, a gente precisa calcular
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, o vetor gradiente
é:
Vamos agora calcular esse vetor no ponto
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada direcional de
em
na direção do vetor
. Para isso, precisamos normalizar o vetor
para obter um vetor unitário
.
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 7
A derivada direcional
é dada pelo produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor unitário
:
Resposta
O vetor gradiente da função em
é
e a derivada direcional nessa direção é
.
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, para
definida implicitamnte por:
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, para
e
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e a direção em que isso ocorre.
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