Utilize o Teorema de Stokes para calcular é o hemisfério orientado na direção positiva de .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa usar o Teorema de Stokes pra calcular a integral da rotacional do campo vetorial sobre a superfície , que é o hemisfério definido por com . O hemisfério está orientado na direção positiva de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicar ele na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral da rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície é igual à integral de linha de ao longo da borda dessa superfície. Matematicamente, isso é escrito como:
Isso significa que, ao invés de calcular uma integral de superfície complicada, podemos simplificar calculando uma integral de linha ao redor da borda da superfície.

Passo 3

Vamos identificar a borda do nosso hemisfério. O hemisfério com tem como borda o círculo onde . Então, a borda é o círculo no plano .

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar essa borda. Como é um círculo no plano , podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
onde varia de a . O vetor posição fica então .

Passo 5

Precisamos encontrar a derivada de em relação a para obter :

Passo 6

Agora, vamos avaliar o campo vetorial ao longo da borda. Substituindo , e em :

Passo 7

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 8

Agora, vamos integrar isso de a :
Sabemos que:
Então:

Resposta

A integral da rotacional de sobre a superfície é .

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