Utilize o Teorema de Stokes para calcular
é o hemisfério
orientado na direção positiva de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa usar o Teorema de Stokes pra calcular a integral da rotacional do campo vetorial
sobre a superfície
, que é o hemisfério definido por
com
. O hemisfério está orientado na direção positiva de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicar ele na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral da rotacional de um campo vetorial
sobre uma superfície
é igual à integral de linha de
ao longo da borda
dessa superfície. Matematicamente, isso é escrito como:
Isso significa que, ao invés de calcular uma integral de superfície complicada, podemos simplificar calculando uma integral de linha ao redor da borda da superfície.
Passo 3
Vamos identificar a borda
do nosso hemisfério. O hemisfério
com
tem como borda o círculo onde
. Então, a borda é o círculo
no plano
.
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar essa borda. Como é um círculo no plano
, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
onde
varia de
a
. O vetor posição fica então
.
Passo 5
Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para obter
:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o campo vetorial
ao longo da borda. Substituindo
,
e
em
:
Passo 7
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 8
Agora, vamos integrar isso de
a
:
Sabemos que:
Então:
Resposta
A integral da rotacional de
sobre a superfície
é
.
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e
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e
, respectivamente.