Utilize o Teorema de Stokes para calcular integral dupla rot F d S F(x, y, z)=z e^y i+x cos y j+x z sin y k, S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=16, y >= 0 orientado na direção positiva de y.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa usar o Teorema de Stokes pra calcular a integral da rotacional do campo vetorial sobre a superfície , que é o hemisfério definido por com . O hemisfério está orientado na direção positiva de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicar ele na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral da rotacional de um campo vetorial integral duplaS (nabla times F) cdot dS = ointpartial S F cdot dr sobre uma superfície é igual à integral de linha de ao longo da borda dessa superfície. Matematicamente, isso é escrito como:
Isso significa que, ao invés de calcular uma integral de superfície complicada, podemos simplificar calculando uma integral de linha ao redor da borda da superfície.

Passo 3

Vamos identificar a borda do nosso hemisfério. O hemisfério com tem como borda o círculo onde . Então, a borda é o círculo no plano .

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar essa borda. Como é um círculo no plano x = 4 cos theta , podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
y = 0
z = 4 sin theta
onde varia de a . O vetor posição fica então .

Passo 5

Precisamos encontrar a derivada de drdtheta = -4 sin theta , i + 0 , j + 4 cos theta , k em relação a dr = (-4 sin theta , i + 4 cos theta , k) , dtheta para obter :

Passo 6

Agora, vamos avaliar o campo vetorial F = z e^y i + x cos y j + x z sin y k ao longo da borda. Substituindo F = 4 sin theta cdot e^0 i + 4 cos theta cdot cos 0 j + 4 cos theta cdot 4 sin theta cdot sin 0 k , F = 4 sin theta , i + 4 cos theta , j + 0 , k e em :

Passo 7

Vamos calcular o produto escalar F cdot dr = (4 sin theta , i + 4 cos theta , j) cdot (-4 sin theta , i + 4 cos theta , k) :
F cdot dr = (4 sin theta)(-4 sin theta) + (4 cos theta)(0) + 0
F cdot dr = -16 sin^2 theta

Passo 8

Agora, vamos integrar isso de ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi -16 sin^2 theta , dtheta a integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi :
ointpartial S F cdot dr = -16 cdot pi = -16pi
Sabemos que:
Então:

Resposta

A integral da rotacional de sobre a superfície é .

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