Investigar a convergência das integrais impróprias: integral-3^infty e^-x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para investigar se a integral imprópria integral-3^infty (e^-x + 1) , dx converge ou não. Isso envolve entender o que são integrais impróprias e como verificar a convergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. É uma integral definida onde o intervalo de integração é infinito ou onde a função integranda tem algum ponto de descontinuidade no intervalo. No nosso caso, o limite superior é o infinito, então precisamos analisar o comportamento da função quando x tende ao infinito.

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a análise:
integral-3^infty (e^-x + 1) , dx = integral-3^infty e^-x , dx + integral-3^infty 1 , dx
Agora, vamos investigar a convergência de cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Começando com a primeira integral, integral-3^infty e^-x , dx. Sabemos que a função e^-x é sempre positiva e decresce conforme x aumenta. Vamos calcular o limite dessa integral:
integral-3^infty e^-x , dx = limb to infty integral-3^b e^-x , dx = limb to infty [-e^-x]-3^b = limb to infty (-e^-b + e^3) = e^3
Como o limite é um número finito, a primeira integral converge.

Passo 5

Agora, vamos analisar a segunda integral, integral-3^infty 1 , dx. Essa integral representa a área sob a curva da função constante 1, que é basicamente o comprimento do intervalo de integração.
integral-3^infty 1 , dx = limb to infty integral-3^b 1 , dx = limb to infty (b - (-3)) = limb to infty (b + 3) = infty
Aqui, o limite é infinito, o que significa que a segunda integral diverge.

Passo 6

Finalmente, juntando os resultados das duas integrais:
integral-3^infty (e^-x + 1) , dx = Conver>=nte + Diver>=nte = Diver>=nte
Isso porque se pelo menos uma das integrais diverge, a integral total também diverge.

Resposta

A integral imprópria integral-3^infty (e^-x + 1) , dx diverge.

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