Investigar a convergência das integrais impróprias:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para investigar se a integral imprópria
converge ou não. Isso envolve entender o que são integrais impróprias e como verificar a convergência delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. É uma integral definida onde o intervalo de integração é infinito ou onde a função integranda tem algum ponto de descontinuidade no intervalo. No nosso caso, o limite superior é o infinito, então precisamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a análise:
Agora, vamos investigar a convergência de cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Começando com a primeira integral,
. Sabemos que a função
é sempre positiva e decresce conforme
aumenta. Vamos calcular o limite dessa integral:
Como o limite é um número finito, a primeira integral converge.
Passo 5
Agora, vamos analisar a segunda integral,
. Essa integral representa a área sob a curva da função constante 1, que é basicamente o comprimento do intervalo de integração.
Aqui, o limite é infinito, o que significa que a segunda integral diverge.
Passo 6
Finalmente, juntando os resultados das duas integrais:
Isso porque se pelo menos uma das integrais diverge, a integral total também diverge.
Resposta
A integral imprópria
diverge.
Exercícios relacionados
Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais:
Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo:
Utilize o Teorema de Stokes para calcular
é o hemisfério
orientado na direção positiva de
.
Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos
e
e faça um esboço do gráfico: