Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos y z e x z e faça um esboço do gráfico:
f(x, y) = e^y - x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é determinar as curvas de nível da função , encontrar onde o gráfico dessa função cruza os planos e , e depois fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar entender um pouco de funções de duas variáveis, curvas de nível e interseções com planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as curvas de nível. As curvas de nível são as linhas onde a função assume um valor constante, ou seja, , onde é uma constante qualquer. Então, vamos igualar a função a :

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para :
Isso nos mostra que para cada valor de , a curva de nível é uma função exponencial deslocada verticalmente no eixo dependendo do valor de .

Passo 4

Vamos agora encontrar as interseções do gráfico com o plano . O plano é onde . Então, substituímos na função:
Isso significa que . Portanto, a interseção com o plano ocorre na linha , desde que (já que o logaritmo natural só está definido para números positivos).

Passo 5

Agora, vamos ver a interseção com o plano . O plano é onde . Substituindo na função:
Então, no plano , a interseção é a reta .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos fazer um esboço do gráfico. As curvas de nível são exponenciais deslocadas, a interseção com o plano é uma linha horizontal , e no plano temos uma reta descendente . Juntando tudo, o gráfico vai parecer uma superfície que se inclina de modo que, conforme aumenta, também aumenta de acordo com a função exponencial, e a altura diminui linearmente no plano .

Resposta

As curvas de nível da função são dadas por para diferentes valores de . As interseções com o plano ocorrem na linha e com o plano na reta . O esboço do gráfico apresenta uma superfície que se inclina exponencialmente conforme aumenta, cruzando as linhas mencionadas nos respectivos planos.

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (2,0) (x-2) y^2(x-2)^2+y^2
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z = ln(x^2 * y^2)
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