Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos
e
e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é determinar as curvas de nível da função
, encontrar onde o gráfico dessa função cruza os planos
e
, e depois fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar entender um pouco de funções de duas variáveis, curvas de nível e interseções com planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as curvas de nível. As curvas de nível são as linhas onde a função assume um valor constante, ou seja,
, onde
é uma constante qualquer. Então, vamos igualar a função a
:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
:
Isso nos mostra que para cada valor de
, a curva de nível é uma função exponencial deslocada verticalmente no eixo
dependendo do valor de
.
Passo 4
Vamos agora encontrar as interseções do gráfico com o plano
. O plano
é onde
. Então, substituímos
na função:
Isso significa que
. Portanto, a interseção com o plano
ocorre na linha
, desde que
(já que o logaritmo natural só está definido para números positivos).
Passo 5
Agora, vamos ver a interseção com o plano
. O plano
é onde
. Substituindo
na função:
Então, no plano
, a interseção é a reta
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos fazer um esboço do gráfico. As curvas de nível são exponenciais deslocadas, a interseção com o plano
é uma linha horizontal
, e no plano
temos uma reta descendente
. Juntando tudo, o gráfico vai parecer uma superfície que se inclina de modo que, conforme
aumenta,
também aumenta de acordo com a função exponencial, e a altura
diminui linearmente no plano
.
Resposta
As curvas de nível da função
são dadas por
para diferentes valores de
. As interseções com o plano
ocorrem na linha
e com o plano
na reta
. O esboço do gráfico apresenta uma superfície que se inclina exponencialmente conforme
aumenta, cruzando as linhas mencionadas nos respectivos planos.
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