Determine e represente graficamente o domínio da função:
z = ln(x^2 * y^2)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa descobrir e desenhar o domínio da função . O domínio é basicamente o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o logaritmo natural e as condições que ele impõe.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural, , só está definido quando o argumento é maior que zero. Ou seja, para que exista, precisamos que:

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Sabemos que qualquer número ao quadrado é sempre maior ou igual a zero:
Portanto, o produto . Mas para o logaritmo ser definido, a gente precisa que seja maior que zero, ou seja:

Passo 4

Para que , tanto quanto precisam ser maiores que zero. Isso acontece quando:
Então, o domínio da função são todos os pares onde e são diferentes de zero.

Passo 5

Vamos representar isso graficamente. No plano , é o eixo e é o eixo . Como e não podem ser zero, o domínio é todo o plano menos esses dois eixos.

Resposta

O domínio da função é composto por todos os pares tais que e . Graficamente, é o plano sem os eixos e .

Exercícios relacionados

Determine e represente graficamente o domínio da função:
f(x, y) = ln(x - 2) / (1 - x^2 - y^2)
Resolva, pelo método dos coeficientes a determinar, o problema de valor inicial:
2 y'' + 4 y' + 2 y = 5 e^(-x) ; y(0) = -1 ; y'(0) = 0
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (2,0) (x-2) y^2(x-2)^2+y^2
Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos y z e x z e faça um esboço do gráfico:
f(x, y) = e^y - x