Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^3-y^3x-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse problema está na área de cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento dela quando e estão próximos de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) . A gente sabe que isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada assim:

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original do limite:
x^3 - y^3x - y = (x - y)(x^2 + xy + y^2)x - y
Dá para ver que o x^2 + xy + y^2 no numerador e no denominador cancela, então ficamos com:

Passo 4

Agora, a gente tem uma expressão bem mais simples: lim(x, y) to (0,0) (x^2 + xy + y^2) = 0^2 + 0 cdot 0 + 0^2 = 0 . Vamos calcular o limite quando e vão para 0:

Resposta

O limite é 0.

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Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos y z e x z e faça um esboço do gráfico:
f(x, y) = e^y - x
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (2,0) (x-2) y^2(x-2)^2+y^2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2-12
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^2-x y+x-yx-y