Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (2,0) (x-2) y^2(x-2)^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite de duas variáveis. O problema é encontrar o limite quando se aproxima de para a função . Para isso, vamos usar conceitos de limites multivariáveis e analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto dado por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando nos aproximamos de (x-2) cdot 0^2(x-2)^2 + 0^2 = 0(x-2)^2 = 0 ao longo do eixo , ou seja, com .
Substituindo na função:
Portanto, o limite ao longo desse caminho é 0.

Passo 3

Agora, vamos ver o que ocorre se nos aproximarmos pelo eixo (2-2) cdot y^2(2-2)^2 + y^2 = 0 cdot y^20 + y^2 = 0 , ou seja, com .
Substituindo na função:
Mais uma vez, o limite é 0.

Passo 4

Para ter mais certeza, vamos considerar um caminho geral onde (x-2) cdot (k(x-2))^2(x-2)^2 + (k(x-2))^2 = (x-2) cdot k^2(x-2)^2(x-2)^2(1 + k^2) = k^2(x-2)^3(x-2)^2(1 + k^2) = k^2(x-2)1 + k^2 , onde limx to 2 k^2(x-2)1 + k^2 = k^2 cdot 01 + k^2 = 0 é uma constante.
Substituindo na função:
Agora, tomando o limite quando :
Então, independentemente do valor de , o limite continua sendo 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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z = ln(x^2 * y^2)
Determine e represente graficamente o domínio da função:
f(x, y) = ln(x - 2) / (1 - x^2 - y^2)
Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos y z e x z e faça um esboço do gráfico:
f(x, y) = e^y - x
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^3-y^3x-y