Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso faz parte do conteúdo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar a função ao se aproximar de diferentes caminhos rumo ao ponto
e ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um caminho simples para nos aproximarmos de
. Um jeito comum é estabelecer uma relação entre
e
, tipo
, onde
é uma constante.
Substituindo
por
na função:
Quando
tende a 0, essa expressão se torna:
Passo 3
Olhando bem, percebemos que o resultado depende do valor de
. Por exemplo:
- Se
:
- Se
:
- Se
:
Como cada caminho com um valor diferente de
resulta em um limite diferente, isso indica que o limite depende do caminho que escolhemos para nos aproximar de
.
Resposta
O limite não existe.
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Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos
e
e faça um esboço do gráfico:
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