Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2-12

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o limite da função quando se aproxima de . Isso faz parte do conteúdo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar a função ao se aproximar de diferentes caminhos rumo ao ponto e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples para nos aproximarmos de f(x, kx) = x cdot kxx^2 + (kx)^2 - 12 = kx^2x^2(1 + k^2) - 12 = k1 + k^2 - 12 . Um jeito comum é estabelecer uma relação entre limx to 0 f(x, kx) = k1 + k^2 - 12 e , tipo , onde é uma constante.
Substituindo por na função:
Quando tende a 0, essa expressão se torna:

Passo 3

Olhando bem, percebemos que o resultado depende do valor de 11 + 1^2 - 12 = 12 - 12 = 0 . Por exemplo:
  • Se 01 + 0^2 - 12 = 0 - 12 = -12 :
21 + 2^2 - 12 = 25 - 12 = -110
  • Se :
  • Se :
Como cada caminho com um valor diferente de resulta em um limite diferente, isso indica que o limite depende do caminho que escolhemos para nos aproximar de .

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^3-y^3x-y
Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos y z e x z e faça um esboço do gráfico:
f(x, y) = e^y - x
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^2-x y+x-yx-y
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (1,1) x^2+y^2-2-2(x-1)-2(y-1)raiz(x-1)^2+(y-1)^2