Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos
e
e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos a função
. O conteúdo da matéria aqui envolve estudar a função de duas variáveis e as suas curvas de nível. As curvas de nível são os lugares do gráfico onde a função tem o mesmo valor, ou seja,
, onde
é uma constante. Além disso, queremos encontrar as interseções da função com os planos
e
. Para resolver isso, precisaremos calcular as curvas de nível e as interseções, e depois fazer um esboço do gráfico.
Passo 2
Vamos começar encontrando as curvas de nível. Para isso, precisamos estabelecer
. Então, vamos igualar
e reorganizar a equação:
Aqui, vemos que essa equação representa um círculo com centro na origem
e raio
, desde que
, ou seja,
. Portanto, as curvas de nível são círculos de raio
para diferentes valores de
.
Passo 3
Agora vamos encontrar as interseções com os planos
e
.
-
Interseção com o plano
: Isso acontece quando . Substituímos na função:
Assim, a interseção no planoé , levando à condição . Portanto, para diferentes valores de , temos duas interseções em e . -
Interseção com o plano
: Aqui, a gente fixa . Então substituindo na função, temos:
E neste caso, a interseção no planoé , que dá . Aqui, temos as interseções em e para os valores .
Resposta
Então, resumindo:
- As curvas de nível são círculos com raio
no plano , para . - As interseções com o plano
acontecem em e . - As interseções com o plano
acontecem em e .
Ao fazer o esboço do gráfico, você teria um círculo que representa as curvas de nível e as interseções nos eixos correspondentes.