Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos y z e x z e faça um esboço do gráfico:
f(x, y)=1-x^2-y^2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos a função f(x, y) = 1 - x^2 - y^2. O conteúdo da matéria aqui envolve estudar a função de duas variáveis e as suas curvas de nível. As curvas de nível são os lugares do gráfico onde a função tem o mesmo valor, ou seja, f(x, y) = k, onde k é uma constante. Além disso, queremos encontrar as interseções da função com os planos yz e xz. Para resolver isso, precisaremos calcular as curvas de nível e as interseções, e depois fazer um esboço do gráfico.

Passo 2

Vamos começar encontrando as curvas de nível. Para isso, precisamos estabelecer f(x, y) = k. Então, vamos igualar 1 - x^2 - y^2 = k e reorganizar a equação:
1 - k = x^2 + y^2
Aqui, vemos que essa equação representa um círculo com centro na origem (0, 0) e raio raiz1 - k, desde que 1 - k >= 0, ou seja, k <= 1. Portanto, as curvas de nível são círculos de raio raiz1 - k para diferentes valores de k.

Passo 3

Agora vamos encontrar as interseções com os planos yz e xz.
  1. Interseção com o plano yz: Isso acontece quando x = 0. Substituímos x na função:
    f(0, y) = 1 - 0^2 - y^2 = 1 - y^2
    Assim, a interseção no plano yz é f(0, y) = k implies 1 - y^2 = k, levando à condição y^2 = 1 - k. Portanto, para diferentes valores de k <= 1, temos duas interseções em y = raiz1 - k e y = -raiz1 - k.
  2. Interseção com o plano xz: Aqui, a gente fixa y = 0. Então substituindo na função, temos:
    f(x, 0) = 1 - x^2 - 0^2 = 1 - x^2
    E neste caso, a interseção no plano xz é f(x, 0) = k implies 1 - x^2 = k, que dá x^2 = 1 - k. Aqui, temos as interseções em x = raiz1 - k e x = -raiz1 - k para os valores k <= 1.

Resposta

Então, resumindo:
  • As curvas de nível são círculos com raio raiz1 - k no plano xy, para k <= 1.
  • As interseções com o plano yz acontecem em (0, raiz1 - k) e (0, -raiz1 - k).
  • As interseções com o plano xz acontecem em (raiz1 - k, 0) e (-raiz1 - k, 0).
Ao fazer o esboço do gráfico, você teria um círculo que representa as curvas de nível e as interseções nos eixos correspondentes.

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