Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos e e faça um esboço do gráfico:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos a função . O conteúdo da matéria aqui envolve estudar a função de duas variáveis e as suas curvas de nível. As curvas de nível são os lugares do gráfico onde a função tem o mesmo valor, ou seja, , onde é uma constante. Além disso, queremos encontrar as interseções da função com os planos e . Para resolver isso, precisaremos calcular as curvas de nível e as interseções, e depois fazer um esboço do gráfico.

Passo 2

Vamos começar encontrando as curvas de nível. Para isso, precisamos estabelecer . Então, vamos igualar e reorganizar a equação:
Aqui, vemos que essa equação representa um círculo com centro na origem e raio , desde que , ou seja, . Portanto, as curvas de nível são círculos de raio para diferentes valores de .

Passo 3

Agora vamos encontrar as interseções com os planos e .
  1. Interseção com o plano : Isso acontece quando . Substituímos na função:

    Assim, a interseção no plano é , levando à condição . Portanto, para diferentes valores de , temos duas interseções em e .
  2. Interseção com o plano : Aqui, a gente fixa . Então substituindo na função, temos:

    E neste caso, a interseção no plano é , que dá . Aqui, temos as interseções em e para os valores .

Resposta

Então, resumindo:
  • As curvas de nível são círculos com raio no plano , para .
  • As interseções com o plano acontecem em e .
  • As interseções com o plano acontecem em e .
Ao fazer o esboço do gráfico, você teria um círculo que representa as curvas de nível e as interseções nos eixos correspondentes.

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$$
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