\left(\operatorname{Resp} \cdot E_{x}=\frac{\sigma}{4 \epsilon_{o}}\left[1-\frac{d}{\sqrt{R{2}+d{2}}}\right], E_{y}=0, E_{z}=\frac{\sigma}{2 \pi \epsilon_{o}}\left[\frac{R}{\sqrt{R{2}+d{2}}}+\ln \left(\frac{d}{R+\sqrt{R{2}+d{2}}}\right)\right]\right)
$$

Passo 1

Beleza, vamos lá! Parece que a gente tem uma expressão para os componentes do campo elétrico em termos de alguns parâmetros: (densidade superficial de carga), (permitividade do vácuo), (raio) e (distância). O conteúdo aqui está ligado à Eletrostática, especificamente ao cálculo do campo elétrico gerado por uma distribuição de carga. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar a contribuição de cada parte da distribuição de carga para obter o campo total em cada direção.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no componente . A expressão dada é:
Isso sugere que estamos calculando o campo elétrico na direção devido a uma distribuição de carga simétrica em torno do eixo . A fórmula mostra como o campo depende da densidade de carga , da permitividade , do raio e da distância .

Passo 3

Agora, vamos entender de onde vem essa expressão. Suponha que temos um disco com raio e densidade superficial de carga . Queremos encontrar o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo perpendicular ao centro do disco, a uma distância deste último.
Para isso, usamos a simetria do problema. Dividimos o disco em anéis concêntricos de raio variável e largura . Cada um desses anéis contribui com um campo elétrico, e por simetria, os componentes periféricos se cancelam, deixando apenas o componente na direção .

Passo 4

Integrando as contribuições de todos os anéis, obtemos a expressão para . A parte dentro dos colchetes, , vem da integração sobre o raio do disco, levando em conta a distância do ponto de observação.
A constante inclui a densidade de carga e a permitividade do vácuo, que são fundamentais para calcular o campo elétrico resultante.

Passo 5

Passando para , notamos que é igual a zero:
Isso faz sentido pela simetria do problema. Como a distribuição de carga é simétrica em torno do eixo , não há componente de campo na direção ; as contribuições se cancelam nessa direção.

Passo 6

Finalmente, para o componente :
Esse componente resulta de uma consideração mais complexa da distribuição de carga, envolvendo tanto termos lineares quanto logarítmicos. Ele representa como o campo elétrico varia na direção , que é perpendicular ao eixo principal do problema.

Resposta

Portanto, os componentes do campo elétrico são:

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