\left(\operatorname{Resp} \cdot E_{x}=\frac{\sigma}{4 \epsilon_{o}}\left[1-\frac{d}{\sqrt{R{2}+d{2}}}\right], E_{y}=0, E_{z}=\frac{\sigma}{2 \pi \epsilon_{o}}\left[\frac{R}{\sqrt{R{2}+d{2}}}+\ln \left(\frac{d}{R+\sqrt{R{2}+d{2}}}\right)\right]\right)
$$
Passo 1
Beleza, vamos lá! Parece que a gente tem uma expressão para os componentes do campo elétrico
em termos de alguns parâmetros:
(densidade superficial de carga),
(permitividade do vácuo),
(raio) e
(distância). O conteúdo aqui está ligado à Eletrostática, especificamente ao cálculo do campo elétrico gerado por uma distribuição de carga. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar a contribuição de cada parte da distribuição de carga para obter o campo total em cada direção.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no componente
. A expressão dada é:
Isso sugere que estamos calculando o campo elétrico na direção
devido a uma distribuição de carga simétrica em torno do eixo
. A fórmula mostra como o campo depende da densidade de carga
, da permitividade
, do raio
e da distância
.
Passo 3
Agora, vamos entender de onde vem essa expressão. Suponha que temos um disco com raio
e densidade superficial de carga
. Queremos encontrar o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo perpendicular ao centro do disco, a uma distância
deste último.
Para isso, usamos a simetria do problema. Dividimos o disco em anéis concêntricos de raio variável e largura
. Cada um desses anéis contribui com um campo elétrico, e por simetria, os componentes periféricos se cancelam, deixando apenas o componente na direção
.
Passo 4
Integrando as contribuições de todos os anéis, obtemos a expressão para
. A parte dentro dos colchetes,
, vem da integração sobre o raio do disco, levando em conta a distância do ponto de observação.
A constante
inclui a densidade de carga e a permitividade do vácuo, que são fundamentais para calcular o campo elétrico resultante.
Passo 5
Passando para
, notamos que é igual a zero:
Isso faz sentido pela simetria do problema. Como a distribuição de carga é simétrica em torno do eixo
, não há componente de campo na direção
; as contribuições se cancelam nessa direção.
Passo 6
Finalmente, para o componente
:
Esse componente resulta de uma consideração mais complexa da distribuição de carga, envolvendo tanto termos lineares quanto logarítmicos. Ele representa como o campo elétrico varia na direção
, que é perpendicular ao eixo principal do problema.
Resposta
Portanto, os componentes do campo elétrico são: