Um túnel de 152 m de comprimento, de altura e de largura (com teto plano) é construído a abaixo do solo. O teto do túnel será totalmente sustentado por colunas retangulares de aço, cuja tensão de ruptura é . (a) Qual o peso total suportado pelas colunas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um túnel com dimensões específicas e nos pede para calcular o peso total que as colunas de aço precisam suportar. Basicamente, estamos lidando com conceitos de física relacionados à força, peso e tensão dos materiais. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam peso, massa e aceleração da gravidade, além de entender a tensão em materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do teto do túnel que precisa ser sustentado pelas colunas. Como o teto é plano, podemos considerar a área do teto multiplicada pelo comprimento do túnel para encontrar o volume.
A área do teto é dada pela largura vezes a altura:
Á
Então, multiplicamos essa área pelo comprimento do túnel para encontrar o volume:
Á

Passo 3

Agora, precisamos calcular o peso total que esse volume representa. Para isso, precisamos conhecer a densidade do material que está sendo sustentado. No entanto, como o enunciado não informa a densidade, vamos assumir que o peso a ser suportado é devido à estrutura do teto em si, e a força que as colunas precisam exercer é igual ao peso da estrutura.
O peso ( ) é calculado pela fórmula:
onde é a massa e é a aceleração da gravidade ( ).
Mas, como não temos a massa, vamos considerar que a pergunta quer saber a força necessária para sustentar o teto, que é diretamente dada pela pressão multiplicada pela área suportada.

Passo 4

A tensão de ruptura das colunas é a força máxima que elas podem suportar por unidade de área antes de se romperem. A tensão ( ) é dada por:
onde é a força e é a área.
Rearranjando para encontrar a força:
Sabemos que a tensão de ruptura é . Para encontrar o peso total suportado pelas colunas, precisamos multiplicar essa tensão pela área total das colunas que estão sustentando o teto.

Passo 5

Ainda não temos a área das colunas. Para encontrar essa área, precisamos saber quantas colunas existem e as dimensões de cada uma. Como o enunciado não fornece essas informações, vamos supor que toda a área do teto é distribuída igualmente entre as colunas.
Portanto, a área total das colunas é igual à área do teto:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da força:

Resposta

O peso total suportado pelas colunas é de .

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