Um túnel de 152 m de comprimento,
de altura e
de largura (com teto plano) é construído a
abaixo do solo. O teto do túnel será totalmente sustentado por colunas retangulares de aço, cuja tensão de ruptura é
. (a) Qual o peso total suportado pelas colunas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um túnel com dimensões específicas e nos pede para calcular o peso total que as colunas de aço precisam suportar. Basicamente, estamos lidando com conceitos de física relacionados à força, peso e tensão dos materiais. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam peso, massa e aceleração da gravidade, além de entender a tensão em materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do teto do túnel que precisa ser sustentado pelas colunas. Como o teto é plano, podemos considerar a área do teto multiplicada pelo comprimento do túnel para encontrar o volume.
A área do teto é dada pela largura vezes a altura:
Então, multiplicamos essa área pelo comprimento do túnel para encontrar o volume:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o peso total que esse volume representa. Para isso, precisamos conhecer a densidade do material que está sendo sustentado. No entanto, como o enunciado não informa a densidade, vamos assumir que o peso a ser suportado é devido à estrutura do teto em si, e a força que as colunas precisam exercer é igual ao peso da estrutura.
O peso (
) é calculado pela fórmula:
onde
é a massa e
é a aceleração da gravidade (
).
Mas, como não temos a massa, vamos considerar que a pergunta quer saber a força necessária para sustentar o teto, que é diretamente dada pela pressão multiplicada pela área suportada.
Passo 4
A tensão de ruptura das colunas é a força máxima que elas podem suportar por unidade de área antes de se romperem. A tensão (
) é dada por:
onde
é a força e
é a área.
Rearranjando para encontrar a força:
Sabemos que a tensão de ruptura é
. Para encontrar o peso total suportado pelas colunas, precisamos multiplicar essa tensão pela área total das colunas que estão sustentando o teto.
Passo 5
Ainda não temos a área das colunas. Para encontrar essa área, precisamos saber quantas colunas existem e as dimensões de cada uma. Como o enunciado não fornece essas informações, vamos supor que toda a área do teto é distribuída igualmente entre as colunas.
Portanto, a área total das colunas é igual à área do teto:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da força:
Resposta
O peso total suportado pelas colunas é de
.
Exercícios relacionados
(4.
,
é a região triangular fechada com vértices
e
Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos
e
e faça um esboço do gráfico:
Na ilustração a seguir, um cofre de massa 430kg é suspenso em uma viga de massa 85 kg, que por sua vez está presa em uma parede por um cabo na horizontal e por uma dobradiça. A distância vertical entre a dobradiça e o ponto de fixação do cabo é a=1,9m enquanto a distância horizontal entre a extremidade da viga e a parede é de
. Qual é o valor da força de tensão no cabo e das componentes horizontal e vertical na viga, respectivamente.
Uma tábua uniforme de comprimento
e massa
está apoiada em duas balanças distantes
das extremidades da tábua. (b) Se ao invés de Maria, estiver João na extremidade esquerda, a leitura da balança direita será nula (tábua prestes a tombar). Qual é a massa de João?