(4.
,
é a região triangular fechada com vértices
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para trabalhar com a função
e uma região triangular que tem os vértices
,
e
. O conteúdo envolve funções de duas variáveis e a área de integração em figuras geométricas. Para resolver, precisaremos entender como usar a função nessa região triangular e calcular uma integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região triangular que temos. Os vértices são:
-
— origem do plano cartesiano -
— que está na vertical a dois passos de altura -
— que está na horizontal a quatro passos para a direita
Traçando esses pontos, a região triangular está formada, com a base no eixo
indo de
até
e a altura indo até
.
Agora, precisamos das equações que definem os limites da região. Vamos encontrar a equação da reta que liga
e
. A inclinação
é dada por
. A equação da reta que passa por
é
.
Agora que sabemos os limites da região, podemos definir os limites para a integral dupla.
Passo 3
Os limites para a integral serão:
- Para
: vai de até . - Para
: para cada , vai de até a reta que encontramos: .
Então, a integral dupla fica assim:
Agora vamos calcular essa integral. Primeiro, vamos fazer a integral interna em relação a
.
Passo 4
Fazendo a integral com relação a
:
Vamos resolver isso passo a passo. A integral de
com relação a
é
, a integral de
é
, e a integral de
é
. Portanto, substituindo:
Agora, substituindo o limite superior
:
Desenvolvendo isso vai ficar um pouco trabalhoso, mas você pode calcular cada parte individualmente.
Passo 5
Depois de calcular isso tudo, você vai ter uma função de
. Agora precisamos integrar isso em relação a
, com limites de
até
. O resultado dessa integral vai nos dar o valor final que procuramos, que representa a área sob a função
na região triangular.
Por último, a integral vai ficar assim:
Resposta
Como o cálculo da integração pode ser um pouco extenso e envolve várias etapas, vamos resumir: ao final, da integral dupla, você deverá chegar a um valor numérico que representa a área sob a função na região triangular. Esse valor final será a resposta do exercício.