Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos yz e
e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar as curvas de nível da função
, encontrar as interseções do gráfico dessa função com os planos
e
, e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, curvas de nível e interseções de superfícies com planos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. As curvas de nível de uma função de duas variáveis representam os pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, para
, onde
é uma constante, vamos encontrar a relação entre
e
.
Passo 3
Vamos encontrar as curvas de nível para
. Seja
, então temos:
Resolvendo para
, temos:
Isso mostra que, para cada valor de
, a curva de nível é dada por
.
Passo 4
Vamos analisar diferentes valores de
:
- Se
, então , o que resulta em . Isso significa que as curvas de nível são linhas verticais em e . - Se
, então , ou seja, . A curva de nível é a linha vertical em . - Para valores de
entre 0 e 1, teremos linhas verticais entre e . - Para
, não há soluções reais, pois não pode ser maior que 1 nesse contexto.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as interseções do gráfico da função com os planos
e
.
Passo 6
Interseção com o plano
:
No plano ,
. Substituindo na função:
No plano
Então, a interseção é a linha
no plano
.
Passo 7
Interseção com o plano
:
No plano ,
. Substituindo na função:
No plano
Aqui, a interseção é a parábola
no plano
.
Passo 8
Para esboçar o gráfico de
, notamos que a função não depende de
. Isso significa que o gráfico é uma superfície que se estende infinitamente ao longo do eixo
, formando cilindros paralelos ao eixo
. As curvas de nível são linhas verticais para diferentes valores de
, e a interseção com o plano
é uma parábola aberta para baixo.
Resposta
As curvas de nível da função
são linhas verticais
para
. A interseção do gráfico com o plano
é a linha
, e com o plano
é a parábola
. O esboço do gráfico é uma superfície parabólica que se estende ao longo do eixo
, formando cilindros paralelos a esse eixo.
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Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos yz e
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