Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos yz e e faça um esboço do gráfico:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar as curvas de nível da função , encontrar as interseções do gráfico dessa função com os planos e , e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, curvas de nível e interseções de superfícies com planos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. As curvas de nível de uma função de duas variáveis representam os pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, para , onde é uma constante, vamos encontrar a relação entre e .

Passo 3

Vamos encontrar as curvas de nível para . Seja , então temos:
Resolvendo para , temos:
Isso mostra que, para cada valor de , a curva de nível é dada por .

Passo 4

Vamos analisar diferentes valores de :
  • Se , então , o que resulta em . Isso significa que as curvas de nível são linhas verticais em e .
  • Se , então , ou seja, . A curva de nível é a linha vertical em .
  • Para valores de entre 0 e 1, teremos linhas verticais entre e .
  • Para , não há soluções reais, pois não pode ser maior que 1 nesse contexto.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as interseções do gráfico da função com os planos e .

Passo 6

Interseção com o plano :
No plano , . Substituindo na função:
Então, a interseção é a linha no plano .

Passo 7

Interseção com o plano :
No plano , . Substituindo na função:
Aqui, a interseção é a parábola no plano .

Passo 8

Para esboçar o gráfico de , notamos que a função não depende de . Isso significa que o gráfico é uma superfície que se estende infinitamente ao longo do eixo , formando cilindros paralelos ao eixo . As curvas de nível são linhas verticais para diferentes valores de , e a interseção com o plano é uma parábola aberta para baixo.

Resposta

As curvas de nível da função são linhas verticais para . A interseção do gráfico com o plano é a linha , e com o plano é a parábola . O esboço do gráfico é uma superfície parabólica que se estende ao longo do eixo , formando cilindros paralelos a esse eixo.

Exercícios relacionados

Um grande empresa de auditoria sabe que os últimos 100 serviços demandaram um tempo médio de 170 h e desvio padrão de 5 h . Considerando que este tempo distribui-se normalmente, determine:
Qual o número esperado destas auditorias que levarão mais que 165 h ?
Um grande empresa de auditoria sabe que os últimos 100 serviços demandaram um tempo médio de 170 h e desvio padrão de 5 h . Considerando que este tempo distribui-se normalmente, determine:
Qual o intervalo de tempo, simétrico em torno da média, que conterá das auditorias?
Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos yz e e faça um esboço do gráfico:
Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos yz e e faça um esboço do gráfico: