Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos yz e
e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente precisa determinar as curvas de nível e as interseções do gráfico da função
com os planos yz e xz, além de fazer um esboço desse gráfico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre superfícies e curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são contornos no gráfico de uma função de duas variáveis que representam pontos onde a função assume um valor constante. Por exemplo, se fixarmos
, onde
é uma constante, a equação resultante nos dá a curva de nível correspondente a esse valor de
.
Passo 3
Vamos determinar as curvas de nível para a função
. Fixando
, temos:
Rearranjando a equação:
Essa é a equação de um círculo no plano
com raio
, desde que
, ou seja,
. Portanto, as curvas de nível são círculos conc��ntricos com centro na origem e raio variando conforme o valor de
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as interseções do gráfico da função com os planos yz e xz.
-
Interseção com o plano yz: Nesse plano,
. Substituindo na função: Assim, a interseção é a curva, que é uma parábola aberta para baixo no plano yz. -
Interseção com o plano xz: Nesse plano,
. Substituindo na função: Então, a interseção é a curva, também uma parábola aberta para baixo no plano xz.
Passo 5
Por último, vamos fazer um esboço do gráfico da função
. Essa função representa uma paraboloide circular, que é uma superfície parabólica que se abre para baixo. As curvas de nível são círculos concêntricos na base, e as interseções com os planos yz e xz são parábolas. O gráfico ficará parecido com uma tigela invertida, com o ponto mais alto no vértice (0,0,1) e descendo conforme
e
aumentam.
Resposta
As curvas de nível da função
são círculos concêntricos de raio
com centro na origem para
. As interseções com os planos yz e xz são parábolas
e
, respectivamente. O gráfico da função é uma paraboloide circular que se abre para baixo, com o vértice no ponto (0,0,1).
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