Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos yz e e faça um esboço do gráfico:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente precisa determinar as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos yz e xz, além de fazer um esboço desse gráfico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre superfícies e curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são contornos no gráfico de uma função de duas variáveis que representam pontos onde a função assume um valor constante. Por exemplo, se fixarmos , onde é uma constante, a equação resultante nos dá a curva de nível correspondente a esse valor de .

Passo 3

Vamos determinar as curvas de nível para a função . Fixando , temos:
Rearranjando a equação:
Essa é a equação de um círculo no plano com raio , desde que , ou seja, . Portanto, as curvas de nível são círculos conc��ntricos com centro na origem e raio variando conforme o valor de .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as interseções do gráfico da função com os planos yz e xz.
  • Interseção com o plano yz: Nesse plano, . Substituindo na função:
    Assim, a interseção é a curva , que é uma parábola aberta para baixo no plano yz.
  • Interseção com o plano xz: Nesse plano, . Substituindo na função:
    Então, a interseção é a curva , também uma parábola aberta para baixo no plano xz.

Passo 5

Por último, vamos fazer um esboço do gráfico da função . Essa função representa uma paraboloide circular, que é uma superfície parabólica que se abre para baixo. As curvas de nível são círculos concêntricos na base, e as interseções com os planos yz e xz são parábolas. O gráfico ficará parecido com uma tigela invertida, com o ponto mais alto no vértice (0,0,1) e descendo conforme e aumentam.

Resposta

As curvas de nível da função são círculos concêntricos de raio com centro na origem para . As interseções com os planos yz e xz são parábolas e , respectivamente. O gráfico da função é uma paraboloide circular que se abre para baixo, com o vértice no ponto (0,0,1).

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