Determine as curvas de nível e as interseçōes do gráfico com os planos yz e xz e faça um esboço do gráfico:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as curvas de nível da função , as interseções do gráfico dessa função com os planos e , e depois fazer um esboço do gráfico. Estamos lidando com gráficos de funções de duas variáveis, então vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrar interseções com planos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Curvas de nível são curvas no plano onde a função assume valores constantes. Nesse caso, temos . Para encontrar as curvas de nível, vamos fixar , onde é um valor constante, e resolver para .

Passo 3

Vamos igualar a função a :
Agora, isolamos :
Para que seja real, precisa ser maior ou igual a zero:
Portanto, as curvas de nível existem para .

Passo 4

Resolvendo para :
Isso significa que, para cada valor de , a curva de nível é composta por duas linhas horizontais em e . Geometricamente, isso representa duas linhas paralelas no plano , uma acima e outra abaixo do eixo .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as interseções do gráfico com os planos e .
Interseção com o plano :
No plano , . Substituindo na função:
Então, a interseção com o plano é a curva , que é uma parábola aberta para cima no plano .
Interseção com o plano :
No plano , . Substituindo na função:
Então, a interseção com o plano é a linha , que é uma reta horizontal no plano .

Passo 6

Para fazer o esboço do gráfico, vamos considerar as informações que temos:
  • As curvas de nível são duas linhas horizontais para cada .
  • A interseção com o plano é uma parábola .
  • A interseção com o plano é a linha reta .
Isso indica que o gráfico é uma superfície parabólica que se estende indefinidamente ao longo do eixo , com a parábola no plano e uma reta constante no plano .

Resposta

As curvas de nível são duas linhas horizontais e para cada . A interseção com o plano é a parábola e com o plano é a linha reta . O gráfico é uma superfície parabólica que se estende ao longo do eixo .

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