Determine as curvas de nível e as interseçōes do gráfico com os planos yz e xz e faça um esboço do gráfico:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as curvas de nível da função
, as interseções do gráfico dessa função com os planos
e
, e depois fazer um esboço do gráfico. Estamos lidando com gráficos de funções de duas variáveis, então vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrar interseções com planos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Curvas de nível são curvas no plano
onde a função assume valores constantes. Nesse caso, temos
. Para encontrar as curvas de nível, vamos fixar
, onde
é um valor constante, e resolver para
.
Passo 3
Vamos igualar a função a
:
Agora, isolamos
:
Para que
seja real,
precisa ser maior ou igual a zero:
Portanto, as curvas de nível existem para
.
Passo 4
Resolvendo para
:
Isso significa que, para cada valor de
, a curva de nível é composta por duas linhas horizontais em
e
. Geometricamente, isso representa duas linhas paralelas no plano
, uma acima e outra abaixo do eixo
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as interseções do gráfico com os planos
e
.
Interseção com o plano
:
No plano ,
. Substituindo na função:
No plano
Então, a interseção com o plano
é a curva
, que é uma parábola aberta para cima no plano
.
Interseção com o plano
:
No plano ,
. Substituindo na função:
No plano
Então, a interseção com o plano
é a linha
, que é uma reta horizontal no plano
.
Passo 6
Para fazer o esboço do gráfico, vamos considerar as informações que temos:
- As curvas de nível são duas linhas horizontais para cada
. - A interseção com o plano
é uma parábola . - A interseção com o plano
é a linha reta .
Isso indica que o gráfico é uma superfície parabólica que se estende indefinidamente ao longo do eixo
, com a parábola no plano
e uma reta constante no plano
.
Resposta
As curvas de nível são duas linhas horizontais
e
para cada
. A interseção com o plano
é a parábola
e com o plano
é a linha reta
. O gráfico é uma superfície parabólica que se estende ao longo do eixo
.
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e
.
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(a)
(a)
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(b) , para
, com
tgt e
(b)