Determine a curvatura em cada ponto da elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curvatura em cada ponto da elipse definida por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é curvatura. A curvatura
em um ponto de uma curva mede o quanto a curva está “curvada” naquele ponto. Para calcular isso, precisamos da fórmula da curvatura para curvas parametrizadas.
Vamos parametrizar a elipse usando um ângulo
:
Aqui,
varia de 0 a
para percorrer toda a elipse.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
A fórmula da curvatura para uma curva parametrizada é:
Vamos substituir as derivadas que calculamos:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
No denominador:
Então, a curvatura fica:
Resposta
A curvatura em cada ponto da elipse
é dada por:
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Determine a curvatura em cada ponto de uma circunferência de raio
.
Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real
no ponto
correspondente ao vetor posição
, em que:
.
Determine a curvatura em cada ponto da reta que passa pelo ponto
e é paralela ao vetor
.
Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta. A curvatura de uma circunferência centrada no ponto
e raio
é igual a 2 .