Determine a curvatura em cada ponto da elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curvatura em cada ponto da elipse definida por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é curvatura. A curvatura em um ponto de uma curva mede o quanto a curva está “curvada” naquele ponto. Para calcular isso, precisamos da fórmula da curvatura para curvas parametrizadas.
Vamos parametrizar a elipse usando um ângulo :
Aqui, varia de 0 a para percorrer toda a elipse.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

A fórmula da curvatura para uma curva parametrizada é:
Vamos substituir as derivadas que calculamos:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
No denominador:
Então, a curvatura fica:

Resposta

A curvatura em cada ponto da elipse é dada por:

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