Determine a curvatura em cada ponto da reta que passa pelo ponto
e é paralela ao vetor
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a curvatura em cada ponto de uma reta que passa pelo ponto
e é paralela ao vetor
. Vamos precisar entender o que é curvatura e como ela se aplica a uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é curvatura. Curvatura é uma medida que indica o quanto uma curva “desvia” de ser uma linha reta. Em termos mais técnicos, ela mede a rapidez com que a direção da curva muda à medida que nos movemos ao longo dela. Para calcular a curvatura, usamos a seguinte fórmula:
onde:
-
é o vetor velocidade (derivada da posição em relação ao tempo), -
é o vetor aceleração (derivada da velocidade em relação ao tempo), -
representa o produto vetorial.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa reta. Uma reta no espaço tem uma direção constante, o que significa que seu vetor direção
não muda à medida que nos movemos ao longo dela. Portanto, a aceleração
, que é a derivada do vetor velocidade, é zero:
Passo 4
Com
, vamos substituir na fórmula da curvatura:
Isso mostra que a curvatura é zero.
Resposta
A curvatura da reta em cada ponto é igual a zero.
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Determine a curvatura em cada ponto da elipse
.
Determine a curvatura em cada ponto de uma circunferência de raio
.
Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta. A curvatura de uma circunferência centrada no ponto
e raio
é igual a 2 .
Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta. Se
é uma circunferência de raio
e
é uma circunferência de raio
, em que
, então a curvatura de
é maior do que a curvatura de
, em qualquer ponto.