Determine a curvatura em cada ponto da reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a curvatura em cada ponto de uma reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . Vamos precisar entender o que é curvatura e como ela se aplica a uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é curvatura. Curvatura é uma medida que indica o quanto uma curva “desvia” de ser uma linha reta. Em termos mais técnicos, ela mede a rapidez com que a direção da curva muda à medida que nos movemos ao longo dela. Para calcular a curvatura, usamos a seguinte fórmula:
onde:
  • é o vetor velocidade (derivada da posição em relação ao tempo),
  • é o vetor aceleração (derivada da velocidade em relação ao tempo),
  • representa o produto vetorial.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa reta. Uma reta no espaço tem uma direção constante, o que significa que seu vetor direção não muda à medida que nos movemos ao longo dela. Portanto, a aceleração , que é a derivada do vetor velocidade, é zero:

Passo 4

Com , vamos substituir na fórmula da curvatura:
Isso mostra que a curvatura é zero.

Resposta

A curvatura da reta em cada ponto é igual a zero.

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Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta. Se é uma circunferência de raio e é uma circunferência de raio , em que , então a curvatura de é maior do que a curvatura de , em qualquer ponto.