Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curvatura de uma curva que é definida por uma função vetorial no ponto específico onde . Isso está dentro do assunto de Cálculo Vetorial, mais precisamente no estudo de curvas no espaço e como medir o quão “curvada” elas são em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular algumas derivadas da função vetorial e usar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é curvatura. A curvatura ( ) de uma curva em um ponto mede o quanto a curva está “virando” naquele ponto. Matematicamente, para uma função vetorial , a curvatura é dada por:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a (ou seja, a velocidade), e é a segunda derivada (ou seja, a aceleração). O símbolo representa o produto vetorial, e indica o módulo do vetor.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada . Dada a função:
A primeira derivada é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada :

Passo 5

Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial :

Passo 7

O módulo desse produto vetorial é:

Passo 8

Agora, calculamos o módulo de :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva no ponto correspondente a é .

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Determine a curvatura em cada ponto de uma circunferência de raio .
Determine a curvatura em cada ponto da elipse .