Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curvatura de uma curva que é definida por uma função vetorial no ponto específico onde . Isso está dentro do assunto de Cálculo Vetorial, mais precisamente no estudo de curvas no espaço e como medir o quão “curvada” elas são em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular algumas derivadas da função vetorial e usar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é curvatura. A curvatura () de uma curva em um ponto mede o quanto a curva está “virando” naquele ponto. Matematicamente, para uma função vetorial , a curvatura é dada por:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a (ou seja, a velocidade), e é a segunda derivada (ou seja, a aceleração). O símbolo representa o produto vetorial, e indica o módulo do vetor.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada . Dada a função:
A primeira derivada é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada :
Passo 5
Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto :
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Passo 7
O módulo desse produto vetorial é:
Passo 8
Agora, calculamos o módulo de :
Passo 9
Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura:
Resposta
A curvatura da curva no ponto correspondente a é .