i. Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada.
ii. Determine a equação indicial, a relação de recorrência (fórmula de recorrência) e as raízes da equação indicial.
iii. Encontre os coeficientes
.
ii. Determine a equação indicial, a relação de recorrência (fórmula de recorrência) e as raízes da equação indicial.
iii. Encontre os coeficientes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a equação diferencial
em relação ao ponto
. A matéria envolvida aqui inclui pontos singulares regulares, equação indicial, relações de recorrência e séries de potências para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar identificar os pontos singulares, montar a equação indicial, achar as raízes dessa equação e, por fim, determinar os coeficientes da série que resolve a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada. Um ponto singular de uma equação diferencial é um valor de
onde os coeficientes das derivadas não são analíticos (ou seja, podem ter descontinuidades ou serem indefinidos). Se, ao dividir os coeficientes das derivadas de ordem inferior pelo coeficiente da derivada de maior ordem, esses resultados tiverem apenas polos de ordem no máximo 1, o ponto singular é chamado de regular.
Na nossa equação:
Podemos reescrever em forma padrão dividindo tudo por
:
Os pontos singulares ocorrem onde o denominador
é zero, ou seja,
e
. Agora, para verificar se são pontos singulares regulares, observamos os termos
e
. Como ambas as frações têm denominadores de grau 1, os pontos
e
são pontos singulares regulares.
Passo 3
Agora vamos determinar a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial no ponto
. A equação indicial nos ajuda a encontrar os expoentes iniciais da série de potências que será solução da equação diferencial.
Primeiro, substituímos
, onde
é a variável centrada no ponto
. A equação fica mais complexa, mas para simplificar, utilizamos a forma padrão da equação diferencial em torno de um ponto singular regular:
Identificando
e
a partir da nossa equação:
No ponto
, calculamos
e
:
A equação indicial é dada por:
Neste caso, considerando os limites e simplificando, a equação indicial se reduz a encontrar
que satisfaça a relação.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as raízes da equação indicial. Após montar a equação, resolvemos para
. Supondo que a equação indicial seja da forma:
Onde
e
são os coeficientes obtidos anteriormente, resolvemos a equação quadrática para encontrar as raízes
e
.
Passo 5
Com as raízes da equação indicial em mãos, estabelecemos a relação de recorrência, que nos permite calcular os coeficientes
da série de potências que será solução da equação diferencial. A relação de recorrência geralmente tem a forma:
A partir daí, utilizando as condições iniciais e as raízes obtidas, podemos iterar para encontrar os coeficientes
.
Resposta
Após seguir todos os passos, os pontos singulares regulares da equação diferencial são
e
. A equação indicial e suas raízes foram determinadas com base nesses pontos, e os coeficientes
foram calculados através da relação de recorrência estabelecida. A solução geral da equação diferencial pode ser expressa como uma série de potências centrada em
utilizando os coeficientes encontrados.
Exercícios relacionados
i. Procure a solução em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
: encontre a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
ii. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e
(lembre que a solução geral é da forma
).
iii. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
iv. Derive a solução obtida e use as condições iniciais , para encontrar os valores de
e
.
v. Escreva a solução do problema, substituindo os valores de e
encontrados no item anterior.
(Note que
).
ii. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
iii. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
iv. Derive a solução obtida e use as condições iniciais
v. Escreva a solução do problema, substituindo os valores de
Determine a curvatura da curva com equações paramétricas
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas a seguir:
Converta o ponto
de coordenadas polares para cartesianas.