Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real
no ponto
correspondente ao vetor posição
, em que:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a curvatura da curva dada pela função vetorial
no ponto correspondente a
. A curvatura nos diz o quão “curvada” está a trajetória naquele ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a curvatura
de uma curva definida por
, usamos a fórmula:
Aqui,
é a primeira derivada de
em relação a
, que representa a velocidade, e
é a segunda derivada, que representa a aceleração. O
indica o produto vetorial entre essas duas derivadas, e
representa a norma (ou módulo) do vetor.
Passo 3
Vamos encontrar
, a primeira derivada de
:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, a segunda derivada de
:
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Percebemos que
, ou seja, a aceleração é nula. Isso significa que a curva é uma linha reta, pois não há mudança na direção da velocidade. Para uma linha reta, a curvatura é sempre zero, já que não há curvatura algum.
Resposta
A curvatura da curva no ponto
correspondente a
é
.
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no ponto
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, em que:
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, em que:
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, em que:
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