Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a curvatura da curva dada pela função vetorial no ponto correspondente a . A curvatura nos diz o quão “curvada” está a trajetória naquele ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a curvatura de uma curva definida por , usamos a fórmula:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a , que representa a velocidade, e é a segunda derivada, que representa a aceleração. O indica o produto vetorial entre essas duas derivadas, e representa a norma (ou módulo) do vetor.

Passo 3

Vamos encontrar , a primeira derivada de :
Derivando cada componente em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular , a segunda derivada de :
Derivando em relação a :

Passo 5

Percebemos que , ou seja, a aceleração é nula. Isso significa que a curva é uma linha reta, pois não há mudança na direção da velocidade. Para uma linha reta, a curvatura é sempre zero, já que não há curvatura algum.

Resposta

A curvatura da curva no ponto correspondente a é .

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