Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real
no ponto
correspondente ao vetor posição
, em que:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a curvatura de uma curva no espaço tridimensional. O enunciado nos dá uma função vetorial
e quer saber qual é a curvatura nesse ponto específico
correspondente a
. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda de
, fazer o produto vetorial dessas derivadas e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial
, que representa a velocidade da curva. A derivada primeira
é obtida derivando cada componente de
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, que representa a aceleração da curva. Derivando novamente cada componente de
:
Passo 4
Com as derivadas em mãos, vamos calcular o produto vetorial entre
e
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o módulo da derivada primeira
:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da curvatura
para curvas no espaço:
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
A curvatura da curva no ponto
é
.
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no ponto
correspondente ao vetor posição
, em que:
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no ponto
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, em que:
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Determine a curvatura em cada ponto de uma circunferência de raio
.