Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real r no ponto P correspondente ao vetor posição r(t0), em que: r(t) = (1 - t, 3 + 5t, -7 - 12t), t0 em R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a curvatura de uma curva no espaço tridimensional. O enunciado nos dá uma função vetorial e quer saber qual é a curvatura nesse ponto específico correspondente a . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda de , fazer o produto vetorial dessas derivadas e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial , que representa a velocidade da curva. A derivada primeira é obtida derivando cada componente de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que representa a aceleração da curva. Derivando novamente cada componente de :

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos calcular o produto vetorial entre e :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o módulo da derivada primeira :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da curvatura para curvas no espaço:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

A curvatura da curva no ponto é .

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