Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial no ponto correspondente a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula da curvatura para curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas primeira e segunda de em relação a . Essas derivadas são essenciais porque a curvatura depende delas.
A derivada primeira é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada segunda :
Passo 4
Em seguida, vamos avaliar e no ponto :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial no ponto :
Passo 6
Vamos calcular agora a norma do produto vetorial que acabamos de encontrar: