Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real r no ponto P correspondente ao vetor posição r(t0), em que: r(t) = (2 sen(t), t, 2 cos(t)), t0 = pi/2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial no ponto correspondente a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula da curvatura para curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas primeira e segunda de em relação a . Essas derivadas são essenciais porque a curvatura depende delas.
A derivada primeira é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada segunda :

Passo 4

Em seguida, vamos avaliar e no ponto :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial no ponto :

Passo 6

Vamos calcular agora a norma do produto vetorial que acabamos de encontrar:

Passo 7

Também precisamos da norma de no ponto :

Passo 8

Finalmente, vamos usar a fórmula da curvatura :
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A curvatura da curva no ponto é .

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