Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curvatura da curva que é dada pela função vetorial no ponto correspondente a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre como calcular a curvatura de uma curva parametrizada. Vamos precisar derivar a função vetorial e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular a curvatura de uma curva parametrizada por uma função vetorial . A fórmula que vamos usar é:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a , é a segunda derivada, e representa o produto vetorial. A norma indica o comprimento do vetor.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada :

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada :

Passo 5

Vamos encontrar o produto vetorial :

Passo 6

Vamos calcular a norma do produto vetorial:

Passo 7

Agora, calculamos a norma da primeira derivada :

Passo 8

Vamos elevar a norma de ao cubo:

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva no ponto é:

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