Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a curvatura de uma curva parametrizada pela função vetorial no ponto correspondente a . Aqui, estamos lidando com o tópico de curvatura em geometria analítica, que basicamente nos diz quão “curvada” uma curva está naquele ponto. Para resolver isso, precisamos calcular as derivadas da função vetorial e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a . A primeira derivada nos dá a velocidade vetorial da curva.
Derivando cada componente em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a . A segunda derivada nos dá a aceleração vetorial da curva.
Derivando :

Passo 4

A próxima etapa é calcular o produto cruzado entre e . O produto cruzado nos ajuda a encontrar uma medida da “torção” da curva.
Calculando o determinante:
Simplificando:
Como :

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude do produto cruzado :
Novamente, usando :

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a magnitude de elevada ao cubo :
Primeiro, :
Simplificando:
Agora, elevando ao cubo:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura :

Resposta

A curvatura da curva no ponto correspondente a é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .
Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .
Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .
Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .