Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real
no ponto
correspondente ao vetor posição
, em que:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a curvatura de uma curva parametrizada pela função vetorial no ponto
correspondente a
. Aqui, estamos lidando com o tópico de curvatura em geometria analítica, que basicamente nos diz quão “curvada” uma curva está naquele ponto. Para resolver isso, precisamos calcular as derivadas da função vetorial e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
. A primeira derivada
nos dá a velocidade vetorial da curva.
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. A segunda derivada
nos dá a aceleração vetorial da curva.
Derivando
:
Passo 4
A próxima etapa é calcular o produto cruzado entre
e
. O produto cruzado nos ajuda a encontrar uma medida da “torção” da curva.
Calculando o determinante:
Simplificando:
Como :
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude do produto cruzado
:
Novamente, usando :
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a magnitude de
elevada ao cubo
:
Primeiro,
:
Simplificando:
Agora, elevando ao cubo:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura
:
Resposta
A curvatura da curva no ponto
correspondente a
é aproximadamente
.
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no ponto
correspondente ao vetor posição
, em que:
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, em que:
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, em que:
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, em que:
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