Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por uma função vetorial , e queremos descobrir a curvatura dessa curva no ponto correspondente a . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e a fórmula da curvatura.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada da função vetorial em relação a . A primeira derivada, , nos dá o vetor velocidade da curva.

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada, , que nos dá o vetor aceleração da curva.

Passo 4

A curvatura de uma curva parametrizada por é dada pela fórmula:
Vamos calcular o produto vetorial .
Calculando o determinante:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo da primeira derivada :
Então,

Passo 6

Substituindo os valores encontrados na fórmula da curvatura:

Passo 7

Finalmente, substituímos na expressão da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva no ponto correspondente a é .

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Esboce os gráficos das funções abaixo e verifique se elas são contínuas nos pontos indicados:
; continua em ? E em ?
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Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .
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