Determine a curvatura da curva parametrizada pela função vetorial de uma variável real no ponto correspondente ao vetor posição , em que: .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por uma função vetorial , e queremos descobrir a curvatura dessa curva no ponto correspondente a . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e a fórmula da curvatura.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada da função vetorial em relação a . A primeira derivada, , nos dá o vetor velocidade da curva.
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada, , que nos dá o vetor aceleração da curva.
Passo 4
A curvatura de uma curva parametrizada por é dada pela fórmula:
Vamos calcular o produto vetorial .
Calculando o determinante:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o módulo da primeira derivada :
Então,
Passo 6
Substituindo os valores encontrados na fórmula da curvatura:
Passo 7
Finalmente, substituímos na expressão da curvatura:
Resposta
A curvatura da curva no ponto correspondente a é .