Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função posição da partícula, que é dada por:
A tarefa é encontrar três coisas:
  1. Velocidade da partícula.
  2. Aceleração da partícula.
  3. Velocidade escalar (ou rapidez) da partícula.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetor, especificamente derivadas, porque velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e aceleração é a derivada da velocidade. A velocidade escalar é o módulo da velocidade vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade vetorial é simplesmente a derivada da função posição em relação a .
A função posição é:
Vamos derivar cada componente:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Então, a velocidade vetorial é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação a .
A função velocidade é:
Vamos derivar cada componente:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Então, a aceleração vetorial é:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a velocidade escalar (ou rapidez) da partícula. Isso é o módulo (ou comprimento) do vetor velocidade.
A velocidade vetorial é:
O módulo de é:
Podemos simplificar se quisermos, mas geralmente essa é a forma final da velocidade escalar.

Resposta

  • Velocidade:
  • Aceleração:
  • Velocidade escalar:

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em
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