Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função posição da partícula, que é dada por:
A tarefa é encontrar três coisas:
- Velocidade da partícula.
- Aceleração da partícula.
- Velocidade escalar (ou rapidez) da partícula.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetor, especificamente derivadas, porque velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e aceleração é a derivada da velocidade. A velocidade escalar é o módulo da velocidade vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade vetorial é simplesmente a derivada da função posição em relação a
.
A função posição é:
Vamos derivar cada componente:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Então, a velocidade vetorial é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação a
.
A função velocidade é:
Vamos derivar cada componente:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Então, a aceleração vetorial é:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a velocidade escalar (ou rapidez) da partícula. Isso é o módulo (ou comprimento) do vetor velocidade.
A velocidade vetorial é:
O módulo de
é:
Podemos simplificar se quisermos, mas geralmente essa é a forma final da velocidade escalar.
Resposta
- Velocidade:
- Aceleração:
- Velocidade escalar:
Exercícios relacionados
Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
Determine a curvatura de
no ponto dado em cada caso.
em
Sobre as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico:
b) calcule as derivadas e integrais indefinidas de cada uma delas.
b) calcule as derivadas e integrais indefinidas de cada uma delas.
Calcule as integrais.