Determine a curvatura da seguinte curva para quaisquer t no domínio
r(t) = t * i + t^2 * j + e^t * k

Passo 1

Então, a gente tem uma curva definida pela função vetorial . A questão pede para determinar a curvatura dessa curva para qualquer valor de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula da curvatura para curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial , que é . Essa derivada nos dá a velocidade com que a curva está sendo percorrida em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, , que nos dá a aceleração da curva em cada ponto.

Passo 4

A fórmula da curvatura é dada por:
Vamos calcular o produto vetorial .

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a norma desse produto vetorial:
Simplificando:

Passo 7

Vamos calcular agora a norma de :

Passo 8

Finalmente, substituindo tudo na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva para qualquer no domínio é:

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