Determine a curvatura da seguinte curva para quaisquer no domínio
Passo 1
Então, a gente tem uma curva definida pela função vetorial . A questão pede para determinar a curvatura dessa curva para qualquer valor de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula da curvatura para curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial , que é . Essa derivada nos dá a velocidade com que a curva está sendo percorrida em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, , que nos dá a aceleração da curva em cada ponto.
Passo 4
A fórmula da curvatura é dada por:
Vamos calcular o produto vetorial .
Passo 5
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a norma desse produto vetorial:
Simplificando:
Passo 7
Vamos calcular agora a norma de :
Passo 8
Finalmente, substituindo tudo na fórmula da curvatura: