Encontre partial fpartial x e partial fpartial y :
(f) f(x, y)=xx^2+y^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções que têm variáveis múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x = (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 em relação a , ou seja, . Para isso, vamos tratar como uma constante e derivar em relação a .
A função é . Podemos usar a regra do quociente para derivar essa expressão. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é .
Aplicando isso:
  • então
  • então
Substituindo na regra:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = (0)(x^2 + y^2) - x(2y)(x^2 + y^2)^2 = 0 - 2xy(x^2 + y^2)^2 = -2xy(x^2 + y^2)^2 em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
Usando novamente a regra do quociente:
  • então (porque é constante em relação a )
  • então
Aplicando na regra do quociente:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2
e
partial fpartial y = -2xy(x^2 + y^2)^2

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