Sejam e . Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de um produto vetorial entre duas funções vetoriais, e , de até . Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre produtos vetoriais e integrais de funções vetoriais. Vamos precisar saber como calcular o produto vetorial entre dois vetores e como integrar funções vetoriais em cada uma das suas componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções vetoriais dadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores e é dado por:
Vamos aplicar isso para e :
Simplificando cada componente:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada componente de de a :
Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Resposta

A integral é igual a:

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Equações de Bernoulli. Algumas vezes é possível resolver uma equação não linear fazendo uma mudança da variável dependente que a transforma em uma equação linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma
e é chamada de equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. Os Problemas de 27 a 31 tratam de equações desse tipo.
Sejam e . Calcule
Determine a curvatura da seguinte curva para quaisquer no domínio
Encontre e :
(f) ;