Sejam F(t)=-t i+j+e^t k e G(t)=i+j+k. Calcule integral0^1 F(t) wed>= G(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de um produto vetorial entre duas funções vetoriais, e , de até . Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre produtos vetoriais e integrais de funções vetoriais. Vamos precisar saber como calcular o produto vetorial entre dois vetores e como integrar funções vetoriais em cada uma das suas componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções vetoriais dadas:
F(t) = -t,i + j + e^t,k
G(t) = i + j + k

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial A wed>= B = (Ay Bz - Az By)i - (Ax Bz - Az Bx)j + (Ax By - Ay Bx)k . O produto vetorial entre dois vetores F(t) wed>= G(t) = (1 cdot 1 - e^t cdot 1)i - (-t cdot 1 - e^t cdot 1)j + (-t cdot 1 - 1 cdot 1)k e F(t) wed>= G(t) = (1 - e^t)i - (-t - e^t)j + (-t - 1)k é dado por:
F(t) wed>= G(t) = (1 - e^t)i + (t + e^t)j - (t + 1)k
Vamos aplicar isso para e :
Simplificando cada componente:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada componente de integral0^1 F(t) wed>= G(t), dt = integral0^1 (1 - e^t), dt, i + integral0^1 (t + e^t), dt, j + integral0^1 -(t + 1), dt, k de integral0^1 (1 - e^t), dt = [ t - e^t ]0^1 = (1 - e^1) - (0 - e^0) = 1 - e - (-1) = 1 - e + 1 = 2 - e a integral0^1 (t + e^t), dt = [ t^22 + e^t ]0^1 = ( 12 + e ) - ( 0 + 1 ) = 12 + e - 1 = e - 12 :
integral0^1 -(t + 1), dt = -[ t^22 + t ]0^1 = -( 12 + 1 ) + ( 0 + 0 ) = -32
Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Resposta

A integral (2 - e),i + (e - 12)j - 32,k é igual a:

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