Encontre partial fpartial x e partial fpartial y :
(j) f(x, y)=e^x y ln y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso está no campo de Cálculo Diferencial, especificamente em derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial fpartial x = ln y cdot ddx ( e^x y ) . Aqui, tratamos partial fpartial x = ln y cdot y e^x y = y ln y cdot e^x y como uma constante porque estamos derivando em relação a .
A função é . Como é uma constante em relação a , podemos aplicar a regra da derivada de uma constante multiplicada por uma função:
A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar ddy [u cdot v] = u' cdot v + u cdot v' . Aqui, tratamos u' = ddy e^x y = x e^x y como uma constante porque estamos derivando em relação a v' = ddy ln y = 1y .
A função é partial fpartial y = x e^x y ln y + e^x y cdot 1y = e^x y ( x ln y + 1y ) . Precisamos aplicar a regra do produto, já que temos duas funções de multiplicadas: e .
A regra do produto diz que:
Onde e .
Primeiro, encontramos :
E :
Agora, aplicamos a regra do produto:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = y ln y cdot e^x y
partial fpartial y = e^x y ( x ln y + 1y )

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