Determine d f / d x em cada caso
f(x) = (2 x - 3)^5 (6 x + 2)^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada de em relação a . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia. Precisamos lembrar como derivar funções que são produtos de duas outras funções e como lidar com potências dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
Para derivar , vamos usar a regra do produto, que diz:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e . Vamos começar com . Aqui, usamos a regra da cadeia, que para uma função diz que a derivada é:
Aplicando isso:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para :

Passo 5

Agora que temos e , aplicamos a regra do produto:
Substituindo:

Passo 6

Podemos fatorar termos comuns para simplificar a expressão. Observamos que e são comuns nas duas partes. Então:

Passo 7

Vamos simplificar o que está dentro dos colchetes:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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