Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty (-1)^n x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso tá ligado ao estudo de séries de potências, onde queremos saber para quais valores de a série “funciona”, ou seja, converge. Pra resolver, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta que ajuda a descobrir o raio de convergência de séries envolvendo fatorias.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , a série converge se o limite for menor que 1. No nosso caso, . Vamos calcular .

Passo 3

Vamos substituir | an+1an | = | (-1)^n+1 x^2(n+1)-1(2(n+1)-1)! cdot (2n-1)!(-1)^n x^2n-1 | e = | -x^2n+1(2n+1)! cdot (2n-1)!x^2n-1 | = | x^2(2n+1)(2n) | :
Simplificando os sinais e as potências de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty | x^2(2n+1)(2n) | = limn to infty x^24n^2 + 2n = 0 tende ao infinito:

Passo 5

Esse limite é igual a 0, que é menor que 1 para qualquer valor de . Isso significa que, de acordo com o Teste da Razão, a série converge para todos os valores de .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados