Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso tá ligado ao estudo de séries de potências, onde queremos saber para quais valores de a série “funciona”, ou seja, converge. Pra resolver, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta que ajuda a descobrir o raio de convergência de séries envolvendo fatorias.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , a série converge se o limite for menor que 1. No nosso caso, . Vamos calcular .
Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty | x^2(2n+1)(2n) | = limn to infty x^24n^2 + 2n = 0 tende ao infinito:
Passo 5
Esse limite é igual a 0, que é menor que 1 para qualquer valor de . Isso significa que, de acordo com o Teste da Razão, a série converge para todos os valores de .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .