Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
C.
C.
Passo 1
Beleza, vamos analisar se a função dada é diferenciável no ponto
. Estamos lidando com cálculo, mais especificamente com o conceito de diferenciabilidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função é contínua nesse ponto e se as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda (
) usando a expressão
:
Passo 4
Agora, calculamos o limite pela direita (
) usando a expressão
:
Passo 5
O valor da função em
é dado pela segunda parte da definição:
Passo 6
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função em
, a função é contínua nesse ponto.
Passo 7
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade. Para isso, precisamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita em
e ver se elas são iguais.
Passo 8
Primeiro, a derivada pela esquerda (
) da função
é:
Passo 9
Em seguida, a derivada pela direita (
) da função
é:
Passo 10
Comparando as derivadas:
Como
, as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
, pois as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são diferentes.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine um vetor unitário u para o qual
.
Encontre a derivada da função.
Encontre a derivada das funções a seguir.
8.
Resp.:
8.
Resp.:
Determine
para
.