Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
C.

Passo 1

Beleza, vamos analisar se a função dada é diferenciável no ponto . Estamos lidando com cálculo, mais especificamente com o conceito de diferenciabilidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função é contínua nesse ponto e se as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( ) usando a expressão :

Passo 4

Agora, calculamos o limite pela direita ( ) usando a expressão :

Passo 5

O valor da função em é dado pela segunda parte da definição:

Passo 6

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função em , a função é contínua nesse ponto.

Passo 7

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade. Para isso, precisamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita em e ver se elas são iguais.

Passo 8

Primeiro, a derivada pela esquerda ( ) da função é:

Passo 9

Em seguida, a derivada pela direita ( ) da função é:

Passo 10

Comparando as derivadas:
Como , as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto , pois as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são diferentes.

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Seja . Determine um vetor unitário u para o qual .
Encontre a derivada da função.
Encontre a derivada das funções a seguir.
8.
Resp.:
Determine para .