Determine d^2y / dx^2 nas equações a seguir:
d) y^2 - 2x = 1 - 2y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação para encontrar a segunda derivada de em relação a . O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas implícitas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de diferenciação implícita para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a diferenciação. Vamos colocar todos os termos no lado esquerdo:
Agora, temos uma equação implícita envolvendo e .

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivarmos termos que envolvem , usaremos a regra da cadeia.
Derivando termo a termo:
  • Derivada de é
  • Derivada de é
  • Derivada de é
  • Derivada de é
Assim, temos:

Passo 4

Vamos agora resolver para . Primeiro, agrupamos os termos que envolvem :
Isolando :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada . Vamos derivar em relação a :
Usando a regra da cadeia novamente:
Sabemos que , então substituindo:

Resposta

A segunda derivada de em relação a é:

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