Determine
nas equações a seguir:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação para encontrar a segunda derivada de
em relação a
. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas implícitas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de diferenciação implícita para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a diferenciação. Vamos colocar todos os termos no lado esquerdo:
Agora, temos uma equação implícita envolvendo
e
.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivarmos termos que envolvem
, usaremos a regra da cadeia.
Derivando termo a termo:
- Derivada de
é - Derivada de
é - Derivada de
é - Derivada de
é
Assim, temos:
Passo 4
Vamos agora resolver para
. Primeiro, agrupamos os termos que envolvem
:
Isolando
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada
. Vamos derivar
em relação a
:
Usando a regra da cadeia novamente:
Sabemos que
, então substituindo:
Resposta
A segunda derivada de
em relação a
é: