Determine
nas equações a seguir:
f)
f)
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer. A questão pede para encontrar a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
, na equação
. Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que nos permite derivar equações onde
está misturado com
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 3
Aplicando as regras de derivação:
-
Produto: Para
, usamos a regra do produto: -
Potência: Para
, usamos a regra da potência: -
A derivada de uma constante é zero:
Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Passo 5
Com a primeira derivada encontrada, vamos agora calcular a segunda derivada
. Para isso, vamos derivar novamente
em relação a
:
Passo 6
Aplicando a regra do quociente para derivar
:
Simplificando os termos:
Passo 7
Vamos substituir
pela expressão que encontramos anteriormente:
Substituindo na equação da segunda derivada:
Simplificando:
Resposta
A segunda derivada de
em relação a
é: