Determine d^2y / dx^2 nas equações a seguir:
f) x*y + y^2 = 1

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. A questão pede para encontrar a segunda derivada de em relação a , ou seja, , na equação . Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que nos permite derivar equações onde está misturado com .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Aplicando as regras de derivação:
  1. Produto: Para , usamos a regra do produto:
  2. Potência: Para , usamos a regra da potência:
  3. A derivada de uma constante é zero:
Substituindo na equação:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Passo 5

Com a primeira derivada encontrada, vamos agora calcular a segunda derivada . Para isso, vamos derivar novamente em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra do quociente para derivar :
Simplificando os termos:

Passo 7

Vamos substituir pela expressão que encontramos anteriormente:
Substituindo na equação da segunda derivada:
Simplificando:

Resposta

A segunda derivada de em relação a é:

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