Sendo
, determine
b) Os seus intervalos de crescimento e decrescimento;
b) Os seus intervalos de crescimento e decrescimento;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta, ou seja, onde ela está subindo (crescendo) ou descendo (decrescendo).
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a
, e é essencial para determinar onde a função está aumentando ou diminuindo.
A função dada é:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função na forma
, sua derivada é:
Passo 3
Aplicando a regra do quociente à nossa função:
-
então -
então
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos analisar onde a derivada
é positiva ou negativa, já que isso nos indica onde a função está crescendo ou decrescendo.
Primeiro, encontramos os pontos críticos onde
ou onde a derivada não está definida. No nosso caso, o denominador
nunca é zero, então só precisamos resolver:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Vamos dividir a reta real em intervalos usando esses pontos críticos e verificar o sinal da derivada em cada intervalo:
Escolhemos valores de teste em cada intervalo:
- Para
:
Então,
está decrescendo nesse intervalo.
- Para
:
Então,
está crescendo nesse intervalo.
- Para
:
Então,
está decrescendo nesse intervalo.
Resposta
A função
está:
- Decrescente nos intervalos
e - Crescente no intervalo