Sendo g(x) = x / (x^2 + 9), determine
b) Os seus intervalos de crescimento e decrescimento;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta, ou seja, onde ela está subindo (crescendo) ou descendo (decrescendo).

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a , e é essencial para determinar onde a função está aumentando ou diminuindo.
A função dada é:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função na forma , sua derivada é:

Passo 3

Aplicando a regra do quociente à nossa função:
  • então
  • então
Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos analisar onde a derivada é positiva ou negativa, já que isso nos indica onde a função está crescendo ou decrescendo.
Primeiro, encontramos os pontos críticos onde ou onde a derivada não está definida. No nosso caso, o denominador nunca é zero, então só precisamos resolver:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 5

Vamos dividir a reta real em intervalos usando esses pontos críticos e verificar o sinal da derivada em cada intervalo:
Escolhemos valores de teste em cada intervalo:
  1. Para :
Então, está decrescendo nesse intervalo.
  1. Para :
Então, está crescendo nesse intervalo.
  1. Para :
Então, está decrescendo nesse intervalo.

Resposta

A função está:
  • Decrescente nos intervalos e
  • Crescente no intervalo

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