Determine d y / d x nas equações a seguir:
g) x^3-x y+y^3=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada de em relação a na equação . O conteúdo que vamos usar aqui é a derivação implícita, que é útil quando está misturado com e não está isolado. Vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções compostas e resolver a equação resultante para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x^3 - x y + y^3 = 1 . Lembre-se que ddx(-x y) = -y - x dydx é uma função de ddx(y^3) = 3y^2 dydx , então quando derivarmos termos que envolvem 3x^2 - y - x dydx + 3y^2 dydx = 0 , teremos que usar a regra da cadeia.
A equação é:
Derivando cada termo:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a precisa usar a regra do produto:
  • Derivada de em relação a usa a regra da cadeia:
  • A derivada de uma constante, , é .
Então, a equação derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos que contêm -x dydx + 3y^2 dydx = -3x^2 + y e os que não contêm. O objetivo é isolar dydx (-x + 3y^2) = -3x^2 + y .
Rearranjando a equação:
Fatorando do lado esquerdo:

Passo 4

Para isolar dydx = -3x^2 + y-x + 3y^2 , vamos dividir ambos os lados da equação por dydx = 3x^2 - yx - 3y^2 :
Podemos simplificar os sinais no numerador e denominador multiplicando por :

Resposta

A derivada de dydx = 3x^2 - yx - 3y^2 em relação a é:

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