Determine
nas equações a seguir:
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada de
em relação a
na equação
. O conteúdo que vamos usar aqui é a derivação implícita, que é útil quando
está misturado com
e não está isolado. Vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções compostas e resolver a equação resultante para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivarmos termos que envolvem
, teremos que usar a regra da cadeia.
A equação é:
Derivando cada termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a precisa usar a regra do produto: - Derivada de
em relação a usa a regra da cadeia: - A derivada de uma constante,
, é .
Então, a equação derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
e os que não contêm. O objetivo é isolar
.
Rearranjando a equação:
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 4
Para isolar
, vamos dividir ambos os lados da equação por
:
Podemos simplificar os sinais no numerador e denominador multiplicando por
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Encontre
por derivação implícita.
Usando os seguintes operadores associados ao momento angular orbital nas coordenadas esféricas:
Determine os valores de
e
associados aos seguintes harmônicos esféricos:
Seja
uma função diferenciável e defina
. Verifique que
Expresse
em termos de
e de
, em que
é uma função diferenciável dada implicitamente por: