Encontre d y / d x por derivação implícita.
x^3+y^3=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita. A gente tem a equação e precisa encontrar . Vamos precisar usar a regra da derivação implícita, que é útil quando y está misturado com x na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a ddx(x^3) + ddx(y^3) = ddx(1) . Lembre-se que ao derivar em relação a , a gente precisa multiplicar pela derivada de em relação a , ou seja, .
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada:
  • A derivada de 3x^2 + 3y^2 cdot dydx = 0 em relação a é (regra do poder).
  • A derivada de em relação a é (regra da cadeia, já que é uma função de ).
  • A derivada de uma constante, como , é .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos isolar 3y^2 cdot dydx = -3x^2 . Primeiro, subtraia de ambos os lados:

Passo 5

Por último, divide ambos os lados por dydx = -3x^23y^2 para resolver para dydx = -x^2y^2 :
Simplificando os 3’s:

Resposta

dydx = -x^2y^2

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