Seja
uma função diferenciável e defina
. Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar que, dada uma função diferenciável
e definindo
, a expressão
é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função
. Ela é uma composição da função
com duas variáveis
e
. Assim, podemos escrever:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Aqui entra a regra da cadeia, que nos diz como derivar funções compostas.
Para a derivada parcial em relação a
:
Calculando as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Então:
De maneira similar, para a derivada parcial em relação a
:
Calculando as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão
substituindo as derivadas que encontramos:
Vamos simplificar termo a termo:
Agora, somando todos esses termos:
Os termos se cancelam perfeitamente, resultando em zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine
nas equações a seguir:
g)
g)
Encontre
por derivação implícita.
Expresse
em termos de
e de
, em que
é uma função diferenciável dada implicitamente por:
Use o Método da Derivação Logarítmica para calcular as derivadas das seguintes funçōes: