Seja f: R^2 R uma função diferenciável e defina F(x, y)=f(xy, yx). Verifique que
x partial Fpartial x+y partial Fpartial y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar que, dada uma função diferenciável e definindo , a expressão é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função F(x, y) = f(u, v) onde u = xy e v = yx . Ela é uma composição da função com duas variáveis e . Assim, podemos escrever:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de partial Fpartial x = partial fpartial u cdot partial upartial x + partial fpartial v cdot partial vpartial x em relação a partial upartial x = 1y e partial vpartial x = -yx^2 e partial Fpartial x = partial fpartial u cdot 1y + partial fpartial v cdot (-yx^2) . Aqui entra a regra da cadeia, que nos diz como derivar funções compostas.
Para a derivada parcial em relação a partial Fpartial y = partial fpartial u cdot partial upartial y + partial fpartial v cdot partial vpartial y :
partial upartial y = -xy^2 e partial vpartial y = 1x
Calculando as derivadas parciais de partial Fpartial y = partial fpartial u cdot (-xy^2) + partial fpartial v cdot 1x e em relação a :
Então:
De maneira similar, para a derivada parcial em relação a :
Calculando as derivadas parciais de e em relação a :
Então:

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão x ( partial fpartial u cdot 1y - partial fpartial v cdot yx^2 ) + y ( -partial fpartial u cdot xy^2 + partial fpartial v cdot 1x ) substituindo as derivadas que encontramos:
xy partial fpartial u - yx partial fpartial v - xy partial fpartial u + yx partial fpartial v = 0
Vamos simplificar termo a termo:
Agora, somando todos esses termos:
Os termos se cancelam perfeitamente, resultando em zero.

Resposta

x partial Fpartial x + y partial Fpartial y = 0

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