Expresse d yd x em termos de x e de y, em que y=f(x) é uma função diferenciável dada implicitamente por:
y+ln (x^2+y^2)=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação envolvendo e onde é uma função de . A matéria que vamos usar aqui é diferenciação implícita, que é útil quando está misturado com de uma forma que não facilita resolver explicitamente em termos de . Para resolver, vamos precisar derivar a equação em relação a e isolar .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que nos foi dada:
y + ln(x^2 + y^2) = 4
Nosso objetivo é encontrar , que representa a taxa de variação de em relação a .

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a ddx(y) + ddx(ln(x^2 + y^2)) = ddx(4) . Lembre-se que é uma função de , então quando diferenciamos termos que contêm , precisamos usar a regra da cadeia.
Derivando cada termo:

Passo 4

Calculando cada derivada:
  1. A derivada de ddx(ln(u)) = 1u cdot dudx, onde u = x^2 + y^2 em relação a ddx(ln(x^2 + y^2)) = 1x^2 + y^2 cdot (2x + 2y cdot dydx) é .
  2. Para , usamos a regra da cadeia:
Então:
  1. A derivada de em relação a é .

Passo 5

Substituindo as derivadas na equação:
dydx + 2x + 2y cdot dydxx^2 + y^2 = 0
Nosso objetivo agora é isolar .

Passo 6

Vamos multiplicar toda a equação por (x^2 + y^2) cdot dydx + 2x + 2y cdot dydx = 0 para eliminar o denominador:

Passo 7

Agora, vamos agrupar os termos que contêm (x^2 + y^2 + 2y) cdot dydx + 2x = 0 :
(x^2 + y^2 + 2y) cdot dydx = -2x
Isolando :

Passo 8

Finalmente, resolvemos para dydx = -2xx^2 + y^2 + 2y :

Resposta

A derivada dydx = -2xx^2 + y^2 + 2y em termos de e é:

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