Expresse
em termos de
e de
, em que
é uma função diferenciável dada implicitamente por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação envolvendo
e
onde
é uma função de
. A matéria que vamos usar aqui é diferenciação implícita, que é útil quando
está misturado com
de uma forma que não facilita resolver
explicitamente em termos de
. Para resolver, vamos precisar derivar a equação em relação a
e isolar
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que nos foi dada:
Nosso objetivo é encontrar
, que representa a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando diferenciamos termos que contêm
, precisamos usar a regra da cadeia.
Derivando cada termo:
Passo 4
Calculando cada derivada:
- A derivada de
em relação a é . - Para
, usamos a regra da cadeia:
Então:
- A derivada de
em relação a é .
Passo 5
Substituindo as derivadas na equação:
Nosso objetivo agora é isolar
.
Passo 6
Vamos multiplicar toda a equação por
para eliminar o denominador:
Passo 7
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Isolando
:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A derivada
em termos de
e
é:
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável e defina
. Verifique que
Determine
nas equações a seguir:
g)
g)
Use o Método da Derivação Logarítmica para calcular as derivadas das seguintes funçōes:
Qual seria o campo elétrico necessário caso o fio fosse feito de prata?
;
. Resp: