Determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação com e e precisamos achar a derivada de em relação a , ou seja, . Isso se chama derivação implícita, porque está misturado com na equação. Vamos precisar usar regras de derivação como a regra do poder e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo bem claro:
Agora, vamos derivar cada termo em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivamos termos que envolvem , devemos usar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo, :
A derivada de em relação a é , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar o termo :
Primeiro, reescrevemos a raiz cúbica como potência:
Aplicando a regra da potência e da cadeia:
Então, a derivada completa do segundo termo é:

Passo 5

Derivando o lado direito da equação :
A derivada de é e a derivada de é zero. Então:

Passo 6

Agora, juntamos todas as derivadas:
Nosso objetivo é isolar . Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:

Passo 8

Agrupando os termos que têm :

Passo 9

Isolando :

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Determine .
O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
onde é o tamanho da população de peixes depois de anos e e são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja . Use o item (b) para mostrar que, se , então ; em outras palavras, a população se extingue.
Determine e .
Seja . Use os itens © e (d) para mostrar que para todo .