Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação com
e
e precisamos achar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso se chama derivação implícita, porque
está misturado com
na equação. Vamos precisar usar regras de derivação como a regra do poder e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo bem claro:
Agora, vamos derivar cada termo em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos termos que envolvem
, devemos usar a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos derivar o primeiro termo,
:
A derivada de em relação a
é
, então:
A derivada de
Passo 4
Agora, vamos derivar o termo
:
Primeiro, reescrevemos a raiz cúbica como potência:
Primeiro, reescrevemos a raiz cúbica como potência:
Aplicando a regra da potência e da cadeia:
Então, a derivada completa do segundo termo é:
Passo 5
Derivando o lado direito da equação
:
A derivada de é
e a derivada de
é zero. Então:
A derivada de
Passo 6
Agora, juntamos todas as derivadas:
Nosso objetivo é isolar
. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 8
Agrupando os termos que têm
:
Passo 9
Isolando
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Determine
.
O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
onde
é o tamanho da população de peixes depois de
anos e
e
são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja
. Use o item (b) para mostrar que, se
, então
; em outras palavras, a população se extingue.
Determine
e
.
Seja
. Use os itens © e (d) para mostrar que
para todo
.