Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona as variáveis , e :
O que a gente precisa é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para achar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas numa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar .
A ideia é derivar ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de e , então quando derivarmos termos com , usaremos a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, é tratado como constante em relação a , então a derivada de é zero.
Derivando o lado direito:
Novamente, é constante em relação a .
Agora, igualamos as duas derivações:
Vamos isolar :
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar seguindo um processo parecido.
Derivando o lado esquerdo em relação a :
Derivando o lado direito em relação a :
Igualando as derivações:
Isolando :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:

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Determine .
Determine .
Seja . Use os itens © e (d) para mostrar que para todo .
Determine e .