Determine partial z / partial x e partial z / partial y.
x^2+y^2-z^2=2 x(y+z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona as variáveis x^2 + y^2 - z^2 = 2x(y + z) , e :
O que a gente precisa é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para achar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas numa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar ddx(x^2) + ddx(y^2) - ddx(z^2) = 2x + 0 - 2z partial zpartial x .
A ideia é derivar ambos os lados da equação em relação a ddx[2x(y + z)] = 2(y + z) + 2x(0 + partial zpartial x) = 2(y + z) + 2x partial zpartial x , lembrando que 2x - 2z partial zpartial x = 2(y + z) + 2x partial zpartial x é uma função de -2z partial zpartial x - 2x partial zpartial x = 2(y + z) - 2x e partial zpartial x(-2z - 2x) = 2(y + z - x) , então quando derivarmos termos com partial zpartial x = 2(y + z - x)-2(z + x) , usaremos a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
partial zpartial x = -y + z - xz + x
Aqui, é tratado como constante em relação a , então a derivada de é zero.
Derivando o lado direito:
Novamente, é constante em relação a .
Agora, igualamos as duas derivações:
Vamos isolar :
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar ddy(x^2) + ddy(y^2) - ddy(z^2) = 0 + 2y - 2z partial zpartial y seguindo um processo parecido.
Derivando o lado esquerdo em relação a ddy[2x(y + z)] = 2x(1 + partial zpartial y) = 2x + 2x partial zpartial y :
2y - 2z partial zpartial y = 2x + 2x partial zpartial y
Derivando o lado direito em relação a -2z partial zpartial y - 2x partial zpartial y = 2x - 2y :
partial zpartial y(-2z - 2x) = 2(x - y)
Igualando as derivações:
partial zpartial y = 2(x - y)-2(z + x)
Isolando partial zpartial y = -x - yz + x :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -y + z - xz + x
partial zpartial y = -x - yz + x

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