Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona as variáveis
,
e
:
O que a gente precisa é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para achar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas numa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
.
A ideia é derivar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
e
, então quando derivarmos termos com
, usaremos a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Aqui,
é tratado como constante em relação a
, então a derivada de
é zero.
Derivando o lado direito:
Novamente,
é constante em relação a
.
Agora, igualamos as duas derivações:
Vamos isolar
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
seguindo um processo parecido.
Derivando o lado esquerdo em relação a
:
Derivando o lado direito em relação a
:
Igualando as derivações:
Isolando
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Determine
.
Determine
.
Seja
. Use os itens © e (d) para mostrar que
para todo
.
Determine
e
.