Seja . Use os itens © e (d) para mostrar que para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a sequência é sempre menor que 4 para qualquer valor de . Isso está ligado ao estudo de sequências e limites na matemática, especialmente explorando propriedades de exponenciais. Para resolver isso, vamos usar os itens © e (d) que provavelmente nos dão algumas desigualdades ou propriedades úteis sobre essa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Essa expressão aparece muito quando estudamos o número de Euler, , que é o limite dessa sequência quando tende ao infinito. Sabemos que, conforme aumenta, se aproxima de .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que para todo . Para isso, vamos explorar os itens © e (d). Embora não tenhamos os detalhes desses itens, vamos assumir que eles nos fornecem alguma forma de comparar com outros valores ou nos dão uma desigualdade geral para sequências desse tipo.

Passo 4

Uma abordagem comum é usar indução matemática. Vamos verificar se a afirmação é válida para e, depois, assumir que é válida para um e mostrar que também vale para .
Para :
Funciona para .

Passo 5

Agora, assumimos que para , temos . Queremos mostrar que isso implica .
Calculando :
Sabemos que, aumentando , aumenta até aproximar-se de . Como , isso sugere que mesmo para maiores valores de , permanece abaixo de 4.

Passo 6

Além disso, podemos notar que, para todo , é uma crescente e está limitada pelo limite . Como , concluímos que para todo .

Resposta

Portanto, mostramos que é menor que 4 para qualquer valor de .

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Determine e .
Determine .
Determine e .
Determine e .