Determine d y / d x.
y^5 + 3 x^2 y^2 + 5 x^4 = 12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , da equação dada:
Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica usada quando está misturado com na equação e não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , então quando derivamos termos com , temos que aplicar a regra da cadeia.
Então, vamos diferenciar cada parte:
  1. : A derivada será
  2. : Aqui usamos a regra do produto. Derivando, temos
  3. : A derivada é
  4. A derivada de uma constante como 12 é 0.

Passo 3

Vamos escrever tudo isso na equação:
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos que têm e os que não têm:
Vamos isolar os termos com :

Passo 5

Para encontrar , basta dividir ambos os lados pela expressão que está multiplicando :
Podemos simplificar um pouco mais retirando o sinal negativo:
Mas geralmente é deixado assim para manter a clareza.

Resposta

A derivada de em relação a é:

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