Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, da equação dada:
Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica usada quando
está misturado com
na equação e não está isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, então quando derivamos termos com
, temos que aplicar a regra da cadeia.
Então, vamos diferenciar cada parte:
-
: A derivada será -
: Aqui usamos a regra do produto. Derivando, temos -
: A derivada é - A derivada de uma constante como 12 é 0.
Passo 3
Vamos escrever tudo isso na equação:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos que têm
e os que não têm:
Vamos isolar os termos com
:
Passo 5
Para encontrar
, basta dividir ambos os lados pela expressão que está multiplicando
:
Podemos simplificar um pouco mais retirando o sinal negativo:
Mas geralmente é deixado assim para manter a clareza.
Resposta
A derivada de
em relação a
é: